(理)设a=(cosα,(λ-1)sinα),b=(cosβ,sinβ),(λ>0,0<α<β<π2)是平面上的两个向量,若向量a+b与a-b相互垂直,(1)求
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(理)设a=(cosα,(λ-1)sinα),b=(cosβ,sinβ),(λ>0,0<α<β<π2)是平面上的两个向量,若向量a+b与a-b相互垂直,(1)求
题型:解答题
难度:一般
来源:静安区一模
(理)设
a
=(cosα,(λ-1)sinα),
b
=(cosβ,sinβ),(λ>0,0<α<β<
π
2
)
是平面上的两个向量,若向量
a
+
b
与
a
-
b
相互垂直,
(1)求实数λ的值;
(2)若
a
•
b
=
4
5
,且
tanα=
4
3
,求α的值(结果用反三角函数值表示)
答案
(1)由题设,得
(
a
+
b
)(
a
-
b
)=0
,
即
|
a
|
2
-|
b
|
2
=0
,
所以,(λ-1)
2
sin
2
α-sin
2
α=0,
即λ(λ-2)sin
2
α=0
因为
0<α<
π
2
,
∴sin
2
α≠0,又λ>0,
所以λ-2=0,即λ=2;
(2)由(1)知,
a
=(cosα,sinα),
b
=(cosβ,sinβ)
,
∴
a
•
b
=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)
,
又
a
•
b
=
4
5
,
∴
cos(α-β)=
4
5
,
∵
0<α<β<
π
2
,则
-
π
2
<α-β<0
,
∴
sin(α-β)=-
3
5
,tan(α-β)=-
3
4
,
∴
tanα=tan[(α-β)+β]=
7
24
,
又
0<α<
π
2
,
∴
α=arctan
7
24
.
举一反三
设
0<α<
π
4
,若
sinα+cosα=
6
2
,则
1+tanα
1-tanα
=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
若α为第二象限角,则
cotα
sec
2
α-1
+cosα
1-
sin
2
α
+sinα
1-
cos
2
α
=( )
A.2sin
2
α
B.-2cos
2
α
C.0
D.2
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知cos2α=
1
4
,则sin
2
α=( )
A.
1
2
B.
3
4
C.
5
8
D.
3
8
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知直线的倾斜角为θ,且
sinθ=
4
5
,则此直线的斜率是( )
A.
4
3
B.
-
4
3
C.±
3
4
D.±
4
3
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
设锐角△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知边a=2
3
,△ABC的面积S=
3
4
(b
2
+c
2
-a
2
).
求:(1)内角A;
(2)周长l的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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