已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x+m在区间[0,π3]上的最大值为2.(Ⅰ)求常数m的值;(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a

已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x+m在区间[0,π3]上的最大值为2.(Ⅰ)求常数m的值;(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a

题型:解答题难度:一般来源:浙江模拟
已知函数f(x)=2


3
sinxcosx+2cos2x+m
在区间[0,
π
3
]上的最大值为2.
(Ⅰ)求常数m的值;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若f(A)=1,sinB=3sinC,△ABC面积为
3


3
4
,求边长a.
答案
(1)由于 f(x)=2


3
sinx•cosx+2cos2x+m
=2sin(2x+
π
6
)+m+1
,-----(2分)
因为x∈[0 , 
π
3
]
,所以2x+
π
6
∈[
π
6
 , 
6
]
.-------(3分)
因为函数y=sint在区间[
π
6
 , 
π
2
]
上是增函数,在区间[
π
2
 , 
6
]
上是减函数,
所以当2x+
π
6
=
π
2
,即x=
π
6
时,函数f(x)在区间[0 , 
π
3
]
上取到最大值为2.----(5分)
此时,f(x)max=f(
π
6
)=m+3=2
,得m=-1.-------(6分)
(2)因为f(A)=1,所以2sin(2A+
π
6
)=1

sin(2A+
π
6
)=
1
2
,解得A=0(舍去)或A=
π
3
.----(8分)
因为sinB=3sinC,
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
,所以b=3c.①-------(10分)
因为△ABC面积为
3


3
4
,所以S=
1
2
bcsinA=
1
2
bcsin
π
3
=
3


3
4
,即bc=3.-----②
由①和②解得b=3,c=1.-------(12分)
因为a2=b2+c2-2bc•cosA=32+12-2×3×1×cos
π
3
,所以a=


7
.---(14分)
举一反三
在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 bsinAcosB=(2c-b)sinBcosA.
(I)求角A;
(II)已知向量


m
=(sinB,cosB),


n
=(cos2C,sin2C),求|


m
+


n
|的取值范围.
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已知函数f(x)=
1-sin2x
1-cos2(
π
2
-x)

(1)若tanx=-2,求f(x)的值
(2)求函数y=cotx[f(x)]的定义域和值域.
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已知函数f(x)=2cosxcos(
π
6
-x)-


3
sin2x+sinxcosx.
(I)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)将函数,y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍,纵坐标不变,得到函数,y=g(x)的图象,求函数g(x)在(0,
π
4
)上的取值范围.
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已知α,β,γ∈R,则


|sinα-sinβ|
+


|sinβ-sinγ|
+


|sinγ-sinα|
的最大值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=2sin(x+
α
2
)cos(x+
α
2
)+2


3
cos2(x+
α
2
)-


3
为偶函数,且α∈[0,π]
(1)求α的值;
(2)若x为三角形ABC的一个内角,求满足f(x)=1的x的值.
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