某同学对函数f(x)=xcosx进行研究后,得出以下五个结论:①函数y=f(x)的图象是中心对称图形;②对任意实数x,f(x)≤|x|均成立;③函数y=f(x)
题型:蚌埠模拟难度:来源:
某同学对函数f(x)=xcosx进行研究后,得出以下五个结论: ①函数y=f(x)的图象是中心对称图形; ②对任意实数x,f(x)≤|x|均成立; ③函数y=f(x)的图象与x轴有无穷多个公共点,且任意相邻两点的距离相等; ④函数y=f(x)的图象与直线y=x有无穷多个公共点,且任意相邻两点的距离相等; ⑤当常数k满足|k|>1时,函数y=f(x)的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点.其中所有正确结论的序号是______. |
答案
由于函数f(x)=xcosx是奇函数,故图象关于原点对称,故①正确. 由于|cosx|≤1,故|f(x)|≤|x|,∴f(x)≤|x|成立,故②正确. 由于当x=kπ+,k∈z 时,函数f(x)=xcosx=0,且f(0)=0,故函数y=f(x)的图象与x轴有无穷 多个公共点,但任意相邻两个公共点的距离不一定相等,如相邻的公共点(0,0)、 (,0)、(,0),显然不满足③,故③不正确. 由于方程xcosx=x 即cosx=1,故 x=2kπ,k∈z,函数y=f(x)的图象与直线y=x有无穷多个公共点, 且任意相邻两个点的距离相等,且等于2π,故④正确. 由方程 xcosx=kx,|k|>1,可得此方程有唯一解为 x=0,故函数y=f(x)的图象与直线y=kx 有且仅有一个公共点,故⑤正确. 故答案为:①②④⑤. |
举一反三
设向量=(cos2x,sin2x),=(cos2x,-sin2x),函数f(x)=•,则函数f(x)的图象( )A.关于点(π,0)中心对称 | B.关于点(,0)中心对称 | C.关于点(,0)中心对称 | D.关于点(0,0)中心对称 |
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已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0),若函数f(x)图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为,则ω的值为______. |
函数f(x)=-2sinx+1,x∈[-,π]的值域是( )A.[1,3] | B.[-1,3] | C.[-3,1] | D.[-1,1] |
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函数y=2sin(2x+)的图象是 ( )的.A.关于直线y=x对称 | B.关于x轴对称 | C.关于y轴对称 | D.关于原点对称 |
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