已知函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1,x∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间.(Ⅲ)该函数f(x)由y=

已知函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1,x∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间.(Ⅲ)该函数f(x)由y=

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1,x∈R.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间.
(Ⅲ)该函数f(x)由y=sinx通过怎样的图象变换得到.
答案
(1)由题意得,
f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=sin2x-cos2x=


2
sin(2x-
π
4
)

因此,函数f(x)的最小正周期为π,
(2)由2kπ-
π
2
≤2x-
π
4
≤2kπ+
π
2
(  )k∈z得,
kπ-
π
8
≤x≤kπ+
8
,k∈Z,
即单调为递增区间[kπ-
π
8
,kπ+
8
]
(k∈z),
(3)函数y=sinx图象先向右平移
π
4
各单位,再把图象上各个点的横坐标变为原来的
1
2
倍,纵坐标不变,再把各个点的纵坐标变为原来的


2
倍,横坐标不变,即得到函数f(x)=


2
sin(2x-
π
4
)
的图象.
举一反三
已知函数f(x)=sinx,x∈R
(1)函数g(x)=2sinx•(sinx+cosx)-1的图象可由f(x)的图象经过怎
样的平移和伸缩变换得到;
(2)设h(x)=f(
π
2
-2x)+4λf(x-
π
2
)
,是否存在实数λ,使得函数h(x)
在R上的最小值是-
3
2
?若存在,求出对应的λ值;若不存在,说明理由.
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将函数y=2sinx图象上的所有点的横坐标缩小到原来的
1
2
(纵坐标不变),得到图象C1,再将图象C1沿x轴向左平移
π
6
个单位,得到图象C2,则图象C2的解析式可以是(  )
A.y=2sin(
1
2
x+
π
3
)
B.y=2sin(2x+
π
3
)
C.y=2sin(
1
2
x+
π
6
)
D.y=2sin(2x+
π
6
)
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已知函数f(x)=


3
cos2ωx+sinωxcosωx+a(ω>0,a∈R)
图象的两相邻对称轴间的距离为
π
2

(1)求ω值;
(2)求函数y=f(x)的单调递减区间;
(3)已知f(x)在区间[0,
π
2
]
上的最小值为1,求a的值.
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f(x)=sinωx+cosωx的图象上相邻两条对称轴间的距离是
3
,则ω的一个值是(  )
A.
2
3
B.
4
3
C.
3
2
D.
3
4
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把y=sinx的图象向左平移
π
3
个单位,再把得到的图象上的各点的横坐标缩为原来
1
2
 (纵坐标不变),得到的图象对应的函数为______.
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