(文)已知复数z=52sinA+B2+icosA-B2,其中A,B,C是△ABC的内角,若|z|=324.(1)求证:tgA•tgB=19;(2)若|AB|=6
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(文)已知复数z=52sinA+B2+icosA-B2,其中A,B,C是△ABC的内角,若|z|=324.(1)求证:tgA•tgB=19;(2)若|AB|=6
题型:宁波模拟
难度:
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(文)已知复数
z=
5
2
sin
A+B
2
+icos
A-B
2
,其中A,B,C是△ABC的内角,若
|z|=
3
2
4
.
(1)求证:
tgA•tgB=
1
9
;
(2)若|AB|=6,当∠C最大时,求△ABC的面积.
答案
(1)由题意可得
|z
|
2
=[
5
2
sin
A+B
2
]
2
+[cos
A-B
2
]
2
=[
3
3
4
]
2
,…(2分)
∴
5
4
•
1-cos(A+B)
2
+
1+cos(A-B)
2
=
9
8
,4cos(A-B)=5cos(A+B),9sinA•sinB=cosA•cosB,
∴
tgA•tgB=
1
9
. …(6分)
(2)
tgC=-tg(A+B)=-
9
8
(tgA+tgB)≤-
9
4
tgA•tgB
=-
3
4
,
当且仅当
tgA=tgB=
1
3
时,tgC最大,即∠C最大…(9分)
此时△ABC是等腰三角形,且底边上的高
h=
1
2
|AB|•tgA=1
,
则S
△ABC
=3.…(12分)
举一反三
已知α,β为锐角,cosα=
4
5
,tan(α-β)=
1
3
,求cosβ的值.
题型:云南
难度:
|
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已知
sinα-sinβ=-
1
2
,cosα-cosβ=
1
2
,且α、β均为锐角,则cos(α-β)=______,ctg(α-β)=______.
题型:朝阳区一模
难度:
|
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在△ABC中,角A、B、C对边分别为a、b、c,证明:
a
2
-
b
2
c
2
=
sin(A-B)
sinC
题型:北京
难度:
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若已知
cos(
π
6
-θ)=
2
2
,sin(
2π
3
-θ)的值是( )
A.
2
2
B.
-
2
2
C.
±
2
2
D.
1
2
题型:不详
难度:
|
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定义在R上的函数
f(x)=sinx+
3
cosx
的最大值是______.
题型:江西
难度:
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