(文)已知复数z=52sinA+B2+icosA-B2,其中A,B,C是△ABC的内角,若|z|=324.(1)求证:tgA•tgB=19;(2)若|AB|=6

(文)已知复数z=52sinA+B2+icosA-B2,其中A,B,C是△ABC的内角,若|z|=324.(1)求证:tgA•tgB=19;(2)若|AB|=6

题型:宁波模拟难度:来源:
(文)已知复数z=


5
2
sin
A+B
2
+icos
A-B
2
,其中A,B,C是△ABC的内角,若|z|=
3


2
4

(1)求证:tgA•tgB=
1
9

(2)若|AB|=6,当∠C最大时,求△ABC的面积.
答案
(1)由题意可得 |z|2=[


5
2
sin
A+B
2
]2+[cos
A-B
2
]2=[
3


3
4
]2
,…(2分)
5
4
1-cos(A+B)
2
+
1+cos(A-B)
2
=
9
8
,4cos(A-B)=5cos(A+B),9sinA•sinB=cosA•cosB,
tgA•tgB=
1
9
. …(6分)
(2)tgC=-tg(A+B)=-
9
8
(tgA+tgB)≤-
9
4


tgA•tgB
=-
3
4

当且仅当tgA=tgB=
1
3
时,tgC最大,即∠C最大…(9分)
此时△ABC是等腰三角形,且底边上的高h=
1
2
|AB|•tgA=1

则S△ABC=3.…(12分)
举一反三
已知α,β为锐角,cosα=
4
5
,tan(α-β)=
1
3
,求cosβ的值.魔方格
题型:云南难度:| 查看答案
已知sinα-sinβ=-
1
2
,cosα-cosβ=
1
2
,且α、β均为锐角,则cos(α-β)=______,ctg(α-β)=______.
题型:朝阳区一模难度:| 查看答案
在△ABC中,角A、B、C对边分别为a、b、c,证明:
a2-b2
c2
=
sin(A-B)
sinC
题型:北京难度:| 查看答案
若已知cos(
π
6
-θ)=


2
2
,sin(
3
-θ)的值是(  )
A.


2
2
B.-


2
2
C.±


2
2
D.
1
2
题型:不详难度:| 查看答案
定义在R上的函数f(x)=sinx+


3
cosx
的最大值是______.
题型:江西难度:| 查看答案
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