已知α,β≠π2+kπ(k∈Z)且sinα是sinθ、cosθ的等差中项,sinβ是sinθ、cosθ的等比中项.求证:1-tan2α1+tan2α=1-tan
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已知α,β≠π2+kπ(k∈Z)且sinα是sinθ、cosθ的等差中项,sinβ是sinθ、cosθ的等比中项.求证:1-tan2α1+tan2α=1-tan
题型:不详
难度:
来源:
已知α,β≠
π
2
+kπ(k∈Z)且sinα是sinθ、cosθ的等差中项,sinβ是sinθ、cosθ的等比中项.求证:
1-
tan
2
α
1+
tan
2
α
=
1-
tan
2
β
2(1+
tan
2
β)
.
答案
证明:由题意,sinθ+cosθ=2sinα ①,sinθ•cosθ=sin
2
β ②,…(2分)
①
2
-2×②消去θ得4sin
2
α-2sin
2
β=1③.…(5分)
另一方面,要证
1-
tan
2
α
1+
tan
2
α
=
1-
tan
2
β
2(1+
tan
2
β)
,即证
1-
si
n
2
α
co
s
2
α
1+
si
n
2
α
co
s
2
α
=
1-
si
n
2
β
co
s
2
β
2(1+
si
n
2
β
co
s
2
β
)
…(7分)
即证cos
2
α-sin
2
α=
1
2
(cos
2
β-sin
2
β) …(9分)
即证1-2sin
2
α=
1
2
(1-2sin
2
β) …(11分)
亦即证4sin
2
α-2sin
2
β=1,而此式在③已证,故原等式成立.…(13分)
举一反三
若sin
(α+β)=
1
2
,sin
(α-β)=
1
3
,则tanαcotβ=______.
题型:不详
难度:
|
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在△ABC中,A,B,C成等差数列,则
tan
A
2
+tan
C
2
+
3
tan
A
2
tan
C
2
=______.
题型:不详
难度:
|
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(中诱导公式)sin60°cos(-45°)-sin(-420°)cos(-570°)的值等于( )
A.
6
+
2
4
B.
6
-
3
4
C.
6
+3
4
D.
6
-3
4
题型:不详
难度:
|
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已知
π
2
<β<α<
3π
4
,且cos(α-β)=
12
13
sin(α+β)=-
3
5
,求:cos2α的值.
题型:不详
难度:
|
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tan70°+tan50°-
3
tan70°tan50°
的值等于( )
A.
3
B.
3
3
C.
-
3
3
D.
-
3
题型:不详
难度:
|
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