对于任意的复数z=x+yi(x,y∈R),定义运算P(z)=x2[cos(yπ)+isin(yπ)].(1)集合A={ω|ω=P(z),|z|≤1,Rez,Im
题型:不详难度:来源:
对于任意的复数z=x+yi(x,y∈R),定义运算P(z)=x2[cos(yπ)+isin(yπ)]. (1)集合A={ω|ω=P(z),|z|≤1,Rez,Imz均为整数},试用列举法写出集合A; (2)若z=2+yi(y∈R),P(z)为纯虚数,求|z|的最小值; (3)直线l:y=x-9上是否存在整点(x,y)(坐标x,y均为整数的点),使复数z=x+yi经运算P后,P(z)对应的点也在直线l上?若存在,求出所有的点;若不存在,请说明理由. |
答案
(1)⇒x2+y2≤1 由于x,y∈Z,得,, ∴P(±1)=1,P(±i)=0,P(0)=0, ∴A={0,1} (2)若z=2+yi(y∈R),则P(z)=4[cos(yπ)+isin(yπ)] 若P(z)为纯虚数,则 ∴y=k+,k∈Z ∴|z|==,k∈Z ∴当k=0或-1时,|z|min=. (3)P(z)对应点坐标为(x2cos(yπ),x2sin(yπ)) 由题意: | y=x-9 | x2sinyπ=x2cosyπ-9 | x,y∈Z |
| | 得x2sin(xπ-9π)=x2cos(xπ-9π)-9 所以 x2sinxπ=x2cosxπ+9∵x∈Z ∴①当x=2k,k∈Z时,得x2+9=0不成立; ②当x=2k+1,k∈Z时,得x2-9=0∴x=±3成立 此时或 即z=3-6i或z=-3-12i. |
举一反三
若复数z=lg(m2-m-2)+i•lg(m+3)为虚数,则实数m取值范围为______. |
已知z∈C,且|z|=1,复数u=z2-2,当z为何值时,|u|取得最大值,并求出该最大值. |
复数z=i(i+1)(i为虚数单位)的共轭复数是( ) |
设复数z=(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i,试求实数m的取值,使得(1)z是纯虚数;(2)z对应的点位于复平面的第二象限. |
若复数(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为( ) |
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