已知复数z1=2cosθ+isinθ,z2=1-isinθ,其中i为虚数单位,θ∈R.(1)当z1,z2是实系数一元二次方程x2+mx+n=0的两个虚根时,求m

已知复数z1=2cosθ+isinθ,z2=1-isinθ,其中i为虚数单位,θ∈R.(1)当z1,z2是实系数一元二次方程x2+mx+n=0的两个虚根时,求m

题型:不详难度:来源:
已知复数z1=2cosθ+isinθ,z2=1-isinθ,其中i为虚数单位,θ∈R.
(1)当z1,z2是实系数一元二次方程x2+mx+n=0的两个虚根时,求m、n的值.
(2)求|z1
.
z2
|的值域.
答案
(1)复数z1=2cosθ+isinθ,z2=1-isinθ,
z1,z2是实系数一元二次方程x2+mx+n=0的两个虚根,
所以z1=
.
z2
,即2cosθ+isinθ=1+isinθ,所以





2cosθ=1
sinθ=sinθ
,所以cosθ=
1
2

m=-z1-z2=-(z1+z2)=-2cosθ-1=-2.
n=z1•z2=1+sin2θ=
7
4

(2)|z1
.
z2
|=|(2cosθ+isinθ)(1+isinθ)|
=|(2cosθ+isinθ)||(1+isinθ)|
=


(1+3cos2θ)(1+sin2θ)

=


2+2cos2θ+
3
4
sin2

=


3+cos2θ+
3
4
-
3
4
cos2

=


15
4
+cos2θ-
3
4
cos2

=


49
12
-
3
4
(cos2θ-
1
3
)
2
[


2
7


3
6
]
举一反三
复数z=3-2i,Imz=______.
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复数Z满足(1+2i)
.
Z
=4+3i
,那么Z=______.
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下列四个命题:①满足z=
1
z
的复数只有±1,±i;②若a,b是两个相等的实数,则(a-b)+(a+b)i是纯虚数;③复数z∈R的充要条件是z=
.
z
;④复数范围内总有z2=|z|2.其中正确的命题序号是______.
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已知m∈R,复数z=
m(m+2)
m-1
+(m2+2m-3)i
,若
.
z
=
1
2
+4i
,则m=______.
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如果复数z=
4-2i
1+i
(其中i为虚数单位),那么Imz(即z的虚部)为______.
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