(1)由题意,得=n+,即Sn=n2+n. 故当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=n+5. n=1时,a1=S1=6,而当n=1时,n+5=6, 所以an=n+5(n∈N*); 又bn+2-2bn+1+bn=0,即bn+2-bn+1=bn+1-bn (n∈N*), 所以{bn}为等差数列,于是=153. 而b3=11,故b7=23,则公差d==3, 因此,bn=b3+3(n-3)=3n+2,即bn=3n+2(n∈N*). (2)cn= = ==(-). 所以,Tn=c1+c2+…+cn =[(1-)+(-)+(-)+…+(-)] =(1-)=. 易知Tn单调递增,由Tn<得k>2012Tn,而Tn→, 故k≥1006,∴kmin=1006. (3)f(n)= | n+5,(n=2l-1,l∈N*) | 3n+2,(n=2l,l∈N*) |
| | , ①当m为奇数时,m+15为偶数. 此时f(m+15)=3(m+15)+2=3m+47,5f(m)=5(m+5)=5m+25, 所以3m+47=5m+25,解得m=11. ②当m为偶数时,m+15为奇数. 此时f(m+15)=m+15+5=m+20,5f(m)=5(3m+2)=15m+10. 所以m+20=15m+10,解得m=∉N*(舍去), 综上,存在唯一正整数m=11,使得f(m+15)=5f(m)成立; |