在数列{an}中,若a1,a2是正整数,且an=|an-1-an-2|,n=3,4,5,…,则称{an}为“绝对差数列”.(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数

在数列{an}中,若a1,a2是正整数,且an=|an-1-an-2|,n=3,4,5,…,则称{an}为“绝对差数列”.(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数

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在数列{an}中,若a1,a2是正整数,且an=|an-1-an-2|,n=3,4,5,…,则称{an}为“绝对差数列”.
(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);
(2)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
答案
(1)(答案不唯一)a1=3,a2=1,a3=2,a4=1,a5=1,a6=0,a7=1,a8=1,a9=0,a10=1.
(2)证明:根据定义,数列{an }必在有限项后出现0项,证明如下:
假设{an }中没有0项,由于an=|an-1-an-2|,所以对于的n,都有an≥1,从而
当an-1>an-2时,an=an-1-an-2≤an-1-1(n≥3)
当an-1<an-2时,an=an-2-an-1≤an-2-1(n≥3)
即an的值要么比an-1至少小1,要么比an-2至少小1.
cn=





a2n-1(a2n-1a2n)
a2n(a2n-1a2n)
,n=1,2,3,…,
则0<cn≤cn-1-1(n=2,3,4,…),由于c1是确定的正整数,
这样减下去,必然存在某项c1<0,
这与cn>0(n=1,2,3,4,…)矛盾,
从而{an }必有0项.
若第一次出现的0项为第n项,
记an-1=A(A≠0),则自第n项开始,每三个相邻的项周期地取值0,A,A,





an+3k=0
an+3k+1=A
an+3k+2=A
k=0,1,2,3,….
所以“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
举一反三
数列1
1
2
,-2
4
5
,4
9
10
,-8
16
17
,…
的一个通项公式是an=______.
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已知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq,且a2=-6,那么a10等于(  )
A.-165B.-33C.-30D.-21
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在数列(an)中,an=2n-1,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素cij=ai•aj+ai+aj(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12),则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为(  )
A.18B.28C.48D.63
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已知整数以按如下规律排成一列:(1,1)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第62个数对是(  )
A.(10,1)B.(2,10)C.(5,7)D.(7,5)
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已知函数f(x)=
x
3x+1
,对于数列{an}有an=f(an-1)(n∈N*,且n≥2),如果a1=1,那么a2=______,an=______.
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