(本小题满分14分)已知数列{an}是以d为公差的等差数列,数列{bn}是以q为公比的等比数列(Ⅰ)若数列{bn}的前n项和为Sn,且a1=b1=d=2,S3<
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(本小题满分14分)已知数列{an}是以d为公差的等差数列,数列{bn}是以q为公比的等比数列(Ⅰ)若数列{bn}的前n项和为Sn,且a1=b1=d=2,S3<
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分14分)已知数列{a
n
}是以d为公差的等差数列,数列{b
n
}是以q为公比的等比数列
(Ⅰ)若数列{b
n
}的前n项和为S
n
,且a
1
=b
1
=d=2,S
3
<5b
2
+a
88
-180,求整数q的值
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,试问数列{b
n
}中是否存在一项b
k
,使得b
,k
恰好可以表示为该数列中连续P(P∈N,P≥2)项和?请说明理由。
(Ⅲ)若b
1
=a
r
,b
2
=a
s
≠a
r
, b
3
=a
t
(其中t>s>r,且(s—r)是(t—r)的约数)求证:数列{b
n
}中每一项都是数列{a
n
}中的项.
答案
(Ⅰ)q=2.(Ⅱ不存在;(Ⅲ)见解析。
解析
本试题主要是考查了数列的通项公式和数列求和的综合运用。
(1)若数列{b
n
}的前n项和为S
n
,且a
1
=b
1
=d=2,S
3
<5b
2
+a
88
-180,借助于通项公式得到q的值。
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,假设数列{b
n
}中存在一项b
k
,使得b
,k
恰好可以表示为该数列中连续P(P∈N,P≥2)项和,然后推理证明。
(Ⅲ)若b
1
=a
r
,b
2
=a
s
≠a
r
, b
3
=a
t
(其中t>s>r,且(s—r)是(t—r)的约数),要证明数列{b
n
}中每一项都是数列{a
n
}中的项,只要分析通项公式的特点可以得到。
(Ⅰ)由题意知a
n
=2n,b
n
=2·
n—1
由S
3
<5b
2
+a
88
-180得.
b
1
+b
2
+b
3
<a
88
+5b
2
-180
b
1
—4b
2
+b
3
<176—180
q
2
—4q+3<0
解得1<q<3,q为值数.
q="2." ………………………………4分
(Ⅱ)假设数列{b
n
}中存在一项b
k
满足b
k
=b
m
+b
m+1
+……b
m+p
—1
b
n
=2
n
b
k
>b
m+p
—1
2
k
>2
m
+p—1
k>m+p—1
k≥m+p.]
又b
k
=2
k
=b
m
+b
m+1
=2
m
+2
m
+1
+2
m
+p
—1
=
=2
m
+p
—2
m
2
k
<2
m
+p
k<m+p与k≥m+p矛盾,
不存在………………………………9分
(Ⅲ)由b
1
=a
r
得b
2
=b
1
q=a
r
q=a
s
=a
r
+(s—r)d,则d=
又b
3
=b
1
q
2
=a
r
.q
2
=a
t
=a
r
+(t—r)d
a
r
q
2
—a
r
=(t—r)
a
r
(q+1)(q—1)=a
r
(q—1).
a
s
≠a
r
b
1
≠b
2
q≠1.又a
r
≠0
故q=
—1又t>s>r且(s—r)是(t—r)的约数
q是正整数且q≥2
对于数列{b
n
}中任一项b
i
(这里只讨论i>3的情形),
有b
i
=a
r
q
i
—1
= a
r
+a
r
(q
i
—1
—1)= a
r
+ a
r
(q—1)(1+q+…+q
i
—2
)
= a
r
+d(s—r)(1+q+…+q
i
—2
)=a
r
+[((s—r)(1+q+…+q
i+2
)+1)—1]d
由于(s—r)(1+q+…+q
i
—2
)+1为正整数
b
i
一定是数列{a
n
}中的项……………………………14分
举一反三
(本小题满分12分)
在各项均为正数的等比数列
中, 已知
, 且
,
,
成等差数列.
(Ⅰ)求数列
的通项公式;
(Ⅱ)设
,求数列
的前
项和
.
题型:不详
难度:
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各项为正数的数列
,
,其前
项的和为
,且
,则
题型:不详
难度:
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(本题满分14分)已知数列
为等比数列,其前
项和为
,已知
,且对于任意的
有
,
,
成等差;
(Ⅰ)求数列
的通项公式;
(Ⅱ)已知
(
),记
,若
对于
恒成立,求实数
的范围.
题型:不详
难度:
|
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在等差数列
中,若
,则
( )
A.
B.6
C.
D.
题型:不详
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|
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已知数列
的前
项和
,且满足
,则正整数
_____
题型:不详
难度:
|
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