解:(1)由a=1,且等差数列a,b,c的公差为d,可知b=1+d,c=1+2d, ①若插入的数在a,b之间,则1+d=q2,1+2d=q3,消去q可得(1+2d)2=(1+d)3,d=. ②若插入的数在b,c之间,则1+d=q,1+2d=q3,消去q可得1+2d=(1+d)3,此方程无正根. 故所求公差d= (2)设在a,b之间插入l个数,在b,c之间插入t个数,则l+t=m, 【由等比中项得:】 在等比数列{an}中,∵a1=a, al+2=b=, am+3=c,akam+4-k=a1am+3=ac(k=2,3,···,m+2), ∴(a2a3…am+2)2=(a2am+2)·(a3am+1)···(am+2a2)=(ac)m+1 又∵ql+1=>0,qt+1=>0,l,t都为奇数,∴q可以为正数,也可以为负数. ① 若q为正数,则a2a3…am+2=(ac),所插入m个数的积为; ②若q为负数,a2,a3,…,am+2中共有+1个负数, 当是奇数,即m=4k-2(k∈N*)时,所插入m个数的积为; 当是偶数,即m=4k(k∈N*)时,所插入m个数的积为. 综上所述,当m=4k-2(k∈N*)时,所插入m个数的积为; 当m=4k(k∈N*)时,所插入m个数的积为. 注:可先将a2,a3,…,am+2用a和q表示,然后再利用条件消去q进行求解. (3)∵在等比数列{an},由ql+1==,可得ql+1-1=,同理可得qm+2-1=, ∴qm+2-1=2(ql+1-1),即2ql+1-1=qm+2 (m≥l), 反证法:假设q是有理数, ①若q为整数,∵a,b,c是正数,且d>0,∴|q|>1,在2ql+1-qm+2=q(2ql-qm+1)=1中,∵2ql+1-qm+2是q的倍数,故1也是q的倍数,矛盾. ②若q不是整数,可设q=(其中x,y为互素的整数,x>1), 则有()m+2=2()l+1-1,即ym+2=xm−l+1(2yl+1-xl+1),∵m≥l,可得m-l+1≥1, ∴ym+2是x的倍数,即y是x的倍数,矛盾 ∴ q是无理数. |