定义:如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称为“三角形”数列.对于“三角形”数列,如果函数使得仍为一个“三角形”数列,则称是数列的“保三角形函数

定义:如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称为“三角形”数列.对于“三角形”数列,如果函数使得仍为一个“三角形”数列,则称是数列的“保三角形函数

题型:不详难度:来源:
定义:如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称为“三角形”数列.对于“三角形”数列,如果函数使得仍为一个“三角形”数列,则称是数列的“保三角形函数”,.
(Ⅰ)已知是首项为2,公差为1的等差数列,若是数列的“保三角形函数”,求k的取值范围;
(Ⅱ)已知数列的首项为2010,是数列的前n项和,且满足,证明是“三角形”数列;
(Ⅲ)根据“保三角形函数”的定义,对函数,和数列1,,()提出一个正确的命题,并说明理由.
答案
(Ⅰ),(Ⅱ)先求出数列的通项公式,然后根据“三角形”数列的定义证明即可,(3)函数是数列1,1+d,1+2d 的“保三角形函数”,必须满足三个条件:①1,1+d,1+2d是三角形数列,所以,即.②数列中的各项必须在定义域内,即.
是三角形数列.由于是单调递减函数,所以,解得
解析

试题分析:(1)显然对任意正整数都成立,
是三角形数列.                              2分
因为k>1,显然有,由,解得.
所以当时,是数列的“保三角形函数”.   5分
(2)由,两式相减得
所以,
经检验,此通项公式满足                7分
显然,因为
所以 是“三角形”数列.                         10分
(3)探究过程: 函数是数列1,1+d,1+2d 的“保三角形函数”,必须满足三个条件:
①1,1+d,1+2d是三角形数列,所以,即
②数列中的各项必须在定义域内,即.
是三角形数列.
由于是单调递减函数,所以,解得
点评:本题是在新定义下对数列的综合考查.关于新定义的题型,在作题过程中一定要理解定义,并会用定义来解题.
举一反三
在等差数列中,若,则的值为(   )
A.9B.12C.16D.7

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已知数列的前项和,则数列的通项公式为                   
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设等差数列的前项和为且满足中最大的项为(  )
A.B.C.D.

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设数列的前项和为,对任意的,都有,且;数列满足.
(Ⅰ)求的值及数列的通项公式;
(Ⅱ)求证:对一切成立.
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等差数列为一个确定的常数,则下列各个前项和中,也为确定的常数的是   (   )
A.S6B.S11C.S12D.S13

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