已知数列{an}满足a1=0,a2=2,且对任意m、n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2(Ⅰ)求a3,a5;(Ⅱ)设bn=a2n+
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已知数列{an}满足a1=0,a2=2,且对任意m、n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2(Ⅰ)求a3,a5;(Ⅱ)设bn=a2n+
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{
a
n
}满足
a
1
=0,
a
2
=2,且对任意
m
、
n
∈
N
*
都有
a
2
m
-
1
+
a
2
n
-
1
=2
a
m
+
n
-
1
+2(
m
-
n
)
2
(Ⅰ)求
a
3
,
a
5
;
(Ⅱ)设
b
n
=
a
2
n
+
1
-
a
2
n
-
1
(
n
∈
N
*
),证明:{
b
n
}是等差数列;
(Ⅲ)设
c
n
=(
a
n+1
-
a
n
)
q
n
-
1
(
q
≠0,
n
∈
N
*
),求数列{
c
n
}的前
n
项和
S
n
.
答案
6,20,
,
S
n
=
解析
解:(1)由题意,零
m
=2,
n
-1,可得
a
3
=2
a
2
-
a
1
+2=6
再令
m
=3,
n
=1,可得
a
5
=2
a
3
-
a
1
+8=20………………………………2分
(2)当
n
∈
N
*
时,由已知(以
n
+2代替
m
)可得
a
2
n
+
3
+
a
2
n
-
1
=2
a
2
n
+
1
+8
于是[
a
2
(
n
+
1
)
+
1
-
a
2
(
n
+
1
)
-
1
]-(
a
2
n
+
1
-
a
2
n
-
1
)=8
即
b
n
+
1
-
b
n
=8
所以{
b
n
}是公差为8的等差数列………………………………………………5分
(3)由(1)(2)解答可知{
b
n
}是首项为
b
1
=
a
3
-
a
1
=6,公差为8的等差数列
则
b
n
=8
n
-2,即
a
2
n
+=
1
-
a
2
n
-
1
=8
n
-2
另由已知(令
m
=1)可得
a
n
=
-(
n
-1)
2
.
那么
a
n
+
1
-
a
n
=
-2
n
+1
=
-2
n
+1
=2
n
于是
c
n
=2
nq
n
-
1
.
当
q
=1时,
S
n
=2+4+6+……+2
n
=
n
(
n
+1)
当
q
≠1时,
S
n
=2·
q
0
+4·
q
1
+6·
q
2
+……+2
n
·
q
n
-
1
.
两边同乘以
q
,可得
qS
n
=2·
q
1
+4·
q
2
+6·
q
3
+……+2
n
·
q
n
.
上述两式相减得
(1-
q
)
S
n
=2(1+
q
+
q
2
+……+
q
n
-
1
)-2
nq
n
=2·
-2
nq
n
=2·
所以
S
n
=2·
综上所述,
S
n
=
…………………………12分
举一反三
(本小题满分15分)已知
(Ⅰ)求
的表达式;
(Ⅱ)定义正数数列
,证明:数列
是等比数列;
20070212
(Ⅲ)令
成立的最小
n
值.命题人:袁卫刚 校对人:沈秋华
题型:不详
难度:
|
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.(本小题满分12分)已知数列
、
均为等差数列,设
.
(1)数列
是否为等比数列?证明你的结论;
(2)设数列
、
的前n项和分别为
和
,若
,
,
求数列
的前n项和 .
题型:不详
难度:
|
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等差数列
的值为 ( )
A.20
B.-20
C.10
D.-10
题型:不详
难度:
|
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已知函数
满足
,
,
;且使
成立的实数
只有一个。
(Ⅰ)求函数
的表达式;
(Ⅱ)若数列
满足
,
,
,
,证明数列
是等比数列,并求出
的通项公式;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,证明:
,
题型:不详
难度:
|
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正实数数列
中,
,且
成等差数列.
(1) 证明数列
中有无穷多项为无理数;
(2)当
为何值时,
为整数,并求出使
的所有整数项的和.
题型:不详
难度:
|
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