设数列的各项均为正数，若对任意的正整数，都有成等差数列，且成等比数列．（Ⅰ）求证数列是等差数列；（Ⅱ）如果，求数列的前项和。

题型：不详难度：来源：

设数列的各项均为正数，若对任意的正整数，都有成等差数列，且成等比数列．
（Ⅰ）求证数列是等差数列；
（Ⅱ）如果，求数列的前项和。

答案

（Ⅰ）见解析   （Ⅱ） 

解析

（Ⅰ）由题意，得， ①
，  ②                     …………2分
因为，所以由式②得， 从而当时，，
代入式①得， ……4分   
故当时，，
数列是等差数列．                 ………………6分
（II）由及式①、②易得
因此的公差，从而，………8分
得，         所以当时，， ③
又也适合式③， .………10分
设数列的前项和为 .
=
=…………12分