(本小题满分18分)已知数列｛an｝、｛bn｝、｛cn｝的通项公式满足bn=an+1-an，cn=bn+1-bn（n∈N*），若数列｛bn｝是一个非零常数列，

题型：不详难度：来源：

(本小题满分18分)已知数列｛a_n｝、｛b_n｝、｛c_n｝的通项公式满足b_n=a_n+1-a_n，c_n=b_n+1-b_n（n∈N*），若数列｛b_n｝是一个非零常数列，则称数列｛a_n｝是一阶等差数列；若数列｛c_n｝是一个非零常数列，则称数列｛a_n｝是二阶等差数列(1)试写出满足条件a_１＝１,b₁=1，c_n=1（n∈N*）的二阶等差数列｛a_n｝的前五项；(2)求满足条件(1)的二阶等差数列｛a_n｝的通项公式a_n；(3)若数列｛a_n｝首项a_１＝２，且满足c_n-b_n+1+3a_n＝-2ⁿ⁺¹（n∈N*），求数列｛a_n｝的通项公式

答案

（1）a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=7，a₅=11（2）a_n＝(n²-n+2)/2 （3）a_n=4ⁿ-2ⁿ

解析

 （1）a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=7，a₅=11-----4分
（2）依题意b_n+1-b_n=c_n=1，n=1，2，3，…
所以b_n=（b_n-b_n-1）＋（b_n-1-b_n-2）＋（b_n-2-b_n-3）＋…+（b₂-b₁）+b₁=1+1+1+…+1="n  " ---6分
又a_n+1-a_n=b_n＝n，n=1，2，3，…所以a_n＝（a_n-a_n-1）＋（a_n-₁-a_n-2）＋（a_n-2-a_n-3）＋…+（a₂-a₁）＋a_１
=（n-1）+（n-2）+…+2+1+1=n（n-1）/2+1=(n²-n+2)/2 --10分
（3）由已知c_n-b_n+1＋３a_n= -2ⁿ⁺¹，可得b_n+1-b_n-b_n+1+3a_n＝-2ⁿ⁺¹，即b_n-3a_n=2ⁿ⁺¹，∴a_n+1=4a_n+2ⁿ⁺¹．-12分
解法一：整理得：a_n+1＋２ⁿ⁺¹=4（a_n+2ⁿ），-------15分
因而数列｛a_n+2ⁿ｝是首项为a₁+2=4，公比为4的等比数列，
∴a_n+2ⁿ＝4·4^n-1＝４ⁿ，即a_n=4ⁿ-2ⁿ．（18分）
解法二：在等式a_n+1＝4a_n+2ⁿ⁺¹两边同时除以2ⁿ⁺¹得：a_n+1/２ⁿ⁺¹=2·a_n/2ⁿ＋１．----15分
令k_n=a_n/2ⁿ，则k_n+1＝２k_n+1，即k_n+1＋１＝２（k_n+1）
故数列｛k_n+1｝是首项为2，公比为2的等比数列所以k_n+1=2·2^n-1＝２ⁿ，即k_n=2ⁿ-1．
∴a_n=2ⁿk_n=2ⁿ（２ⁿ-1）=4ⁿ-2ⁿ．-------18分
解法三：∵a_１＝２，∴a₂＝１２＝２^２×（2^２-1），a₃＝５６＝２^３×（２^３-1），a₄＝３２＝２^４×（２^４-1）
猜想：a_n=2ⁿ（2ⁿ-1）＝４ⁿ-2ⁿ． ------15分
下面用数学归纳法证明如下：（i）当n=1时，a_１＝２＝4-2，猜想成立；
（ii）假设n=k时，猜想成立，即a_k=4^k-2^k．那么当n=k+1时，a_k+1＝４a_k+2^k+1＝４（4^k-2^k）＋２^k+1="4" ^k+1-2 ^k+1，结论也成立∴由（i）、（ii）可知，a_n=4ⁿ-2ⁿ．----18分