已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,∀n≥2,3Sn-4、2an、2-Sn-1总成等差数列.(1)求Sn;(2)对任意k∈N*,将数列{an}的项落入区
题型:江门一模难度:来源:
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,∀n≥2,3Sn-4、2an、2-Sn-1总成等差数列. (1)求Sn; (2)对任意k∈N*,将数列{an}的项落入区间(3k,32k)内的个数记为bk,求bk. |
答案
(1)∀n≥2,3Sn-4、2an、2-Sn-1总成等差数列, 所以,2×2an=(3Sn-4)+(2-Sn-1)…(1分) 因为an=Sn-Sn-1(n≥2),所以4(Sn-Sn-1)=(3Sn-4)+(2-Sn-1), 即Sn=3Sn-1-2…(3分) 又因为a1=2,Sn-1-1≠0,==3,S1-1=1, 所以数列{Sn-1}是首项等于1,公比q=3的等比数列…(6分) Sn-1=1×3n-1,即Sn=1+3n-1…(7分) (2)由(1)得∀n≥2,an=Sn-Sn-1=(1+3n-1)-(1+3n-2)=2×3n-2…(8分) n=1时,2×3n-2=2×1=2=a1,所以,任意n∈N*,an=2×3n-2…(9分) 任意k∈N*,由3k<an<32k,即3k<2×3n-2<32k…(11分), (k<log32+(n-2)<2k,k+2-log32<n<2k+2-log32…(12分) 因为0<log32<1,所以“若学生直接列举,省略括号内这一段解释亦可”) n可取k+2、k+3、…、2k+1…(13分), 所以bk=k…(14分) |
举一反三
已知正项数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足an=+(n≥2). (Ⅰ)求证:{}为等差数列,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)记数列{}的前n项和为Tn,若对任意的n∈N*,不等式4Tn<a2-a恒成立,求实数a的取值范围. |
一组数据共有7个数,记得其中有10,2,5,2,4,2,还有一个数没记清,但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列,这个数的所有可能值的和为( ) |
若数列{bn}满足:对于n∈N*,都有bn+2-bn=d(常数),则称数列{bn}是公差为d的准等差数列.如:若cn=则{cn}是公差为8的准等差数列. (1)求上述准等差数列{cn}的第8项c8、第9项c9以及前9项的和T9; (2)设数列{an}满足:a1=a,对于n∈N*,都有an+an+1=2n.求证:{an}为准等差数列,并求其通项公式; (3)设(2)中的数列{an}的前n项和为Sn,若S63>2012,求a的取值范围. |
设数列{an}的各项都是正数,且对任意n∈N*,都有(an-1)(an+3)=4Sn,其中Sn为数列{an}的前n项和. (Ⅰ)求证数列{an}是等差数列; (Ⅱ)若数列{}的前n项和为Tn,试证明不等式≤Tn<1成立. |
已知角α,β,γ,构成公差为的等差数列.若cosβ=-,则cosα+cosγ=______. |
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