设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知an+1=2Sn+2(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组

设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知an+1=2Sn+2(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组

题型:汕尾二模难度:来源:
设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知an+1=2Sn+2(n∈N*)
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成公差为dn的等差数列(如:在a1与a2之间插入1个数构成第一个等差数列,其公差为d1;在a2与a3之间插入2个数构成第二个等差数列,其公差为d2,…以此类推),设第n个等差数列的和是An.是否存在一个关于n的多项式g(n),使得An=g(n)dn对任意n∈N*恒成立?若存在,求出这个多项式;若不存在,请说明理由;
(3)对于(2)中的数列d1,d2,d3,…,dn,…,这个数列中是否存在不同的三项dm,dk,dp(其中正整数m,k,p成等差数列)成等比数列,若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由.
答案
(1)n≥2时,由an+1=2Sn+2,得an=2Sn-1+
两式相减可得:an+1-an=2an,∴an+1=3an,即数列{an}的公比为3
∵n=1时,a2=2S1+2,∴3a1=2a1+2,解得a1=2,
∴an=2×3n-1
(2)由(1)知an=2×3n-1,an+1=2×3n
因为an+1=an+(n+1)dn,所以dn=
4×3n-1
n+1

第n个等差数列的和是An=(n+2)an+
(n+2)(n+1)
2
×
4×3n-1
n+1
=4(n+2)×3n-1=(n+2)(n+1)dn
∴存在一个关于n的多项式g(n)=(n+2)(n+1),使得An=g(n)dn对任意n∈N*恒成立;
(3)假设在数列{dn}中存在dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列)成等比数列
则dk2=dmdp,即(
4×3k-1
k+1
2=
4×3m-1
m+1
×
4×3p-1
p+1

因为m,k,p成等差数列,所以m+p=2k①
上式可以化简为k2=mp②
由①②可得m=k=p这与题设矛盾
所以在数列{dn}中不存在三项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列)成等比数列.
举一反三
如果有穷数列a1、a2、a3、…、an(n为正整数)满足条件a1=an,a2=an-1,…,an=a1,即ak=an-k+1(k=1,2 …,n),我们称其为“对称数列”.设{bn}是项数为7的“对称数列”,其中b1、b2、b3、b4成等差数列,且b1=2,b2+b4=16,依次写出{bn}的每一项______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知等差数列{an}满足a2=3,an-1=17,(n≥2),Sn=100,则n的值为(  )
A.8B.9C.10D.11
题型:黑龙江一模难度:| 查看答案
等差数列{an}中,a1、a2、a3分别是下表第一、二、三列中的某个数,且a1、a2、a3中的任何两个数不在下表的同一行.
题型:即墨市模拟难度:| 查看答案
题型:不详难度:| 查看答案
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第一列第二列第三列
第一行02-1
第二行205
第三行13-3
首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a7=-2,S5=30.
(1) 求a1及d;
(2) 若数列{bn}满足an=
b1+2b2+3b3+…+nbn
n
(n∈N*),求数列{bn}的通项公式.
Sn是数列{an}的前n项和,则“数列{Sn}为等差数列”是“数列{an}为常数列”的(  )条件
A.充分不必要B.必要不充分
C.充要D.既不充分也不必要