数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意的n∈N*,总有an,Sn,an2成等差数列.(1)求a1;(2)求数列{an}的通项公式;(3)设数列{
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数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意的n∈N*,总有an,Sn,an2成等差数列.(1)求a1;(2)求数列{an}的通项公式;(3)设数列{
题型:不详
难度:
来源:
数列{a
n
}的各项均为正数,S
n
为其前n项和,对于任意的n∈N
*
,总有a
n
,S
n
,a
n
2
成等差数列.
(1)求a
1
;
(2)求数列{a
n
}的通项公式;
(3)设数列{b
n
}的前n项和为T
n
,且b
n
=
1
a
n
2
,求证:对任意正整n,总有T
n
<2.
答案
(1)∵对于任意的n∈N
*
,总有a
n
,S
n
,a
n
2
成等差数列.
∴
2
S
n
=
a
n
+
a
2n
,
令n=1,得
2
a
1
=2
S
1
=
a
1
+
a
21
,解得a
1
=1.
(2)当n≥2时,由
2
S
n
=
a
n
+
a
2n
,
2
S
n-1
=
a
n-1
+
a
2n-1
,
得
2
a
n
=
a
n
+
a
2n
-
a
n-1
-
a
2n-1
,
∴(a
n
+a
n-1
)(a
n
-a
n-1
-1)=0,
∵∀n∈N
*
,a
n
>0,∴a
n
-a
n-1
=1,
∴数列{a
n
}是公差为1的等差数列,
∴a
n
=1+(n-1)×1=n.
(3)由(2)可得
b
n
=
1
n
2
.
当n≥2时,
b
n
<
1
n(n-1)
=
1
n-1
-
1
n
,
∴
T
n
<1+(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n-1
-
1
n
)
=2-
1
n
<2
.
当n=1时,T
1
=b
n
=1<2.
∴对任意正整n,总有T
n
<2.
举一反三
在两个各项均为正数的数列a
n
、b
n
(n∈N
*
)中,已知a
n
、b
n
2
、a
n+1
成等差数列,并且b
n
2
、a
n+1
、b
n+1
2
成等比数列.
(Ⅰ)证明:数列b
n
是等差数列;
(Ⅱ)若a
1
=2,a
2
=6,设
c
n
=(
a
n
-
n
2
)•
q
b
n
(q>0为常数),求数列c
n
的前n项和S
n
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}为等差数列,a
1
+a
2
+a
3
=6,a
7
+a
8
+a
9
=24,则a
4
+a
5
+a
6
=______.
题型:江苏二模
难度:
|
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设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和,已知
1
3
S
3
与
1
4
S
4
的等比中项为
1
5
S
5
,已知
1
3
S
3
与
1
4
S
4
的等差中项为1.
(1)求等差数列{a
n
}的通项;
(2)求数列{|a
n
|}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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等差数列{a
n
}满足条件a
3
=4,公差d=-2,则a
2
+a
6
等于( )
A.8
B.6
C.4
D.2
题型:不详
难度:
|
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已知{a
n
}为等差数列,a
2
+a
4
+a
15
是一个确定的常数,则下列各项中也是常数的是( )
A.a
5
B.a
6
C.a
7
D.a
8
题型:不详
难度:
|
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