设数列{an}满足:Sn=an24+n,an>0.(1)求{an}的表达式;(2)将数列{an}依次按1项,2项,3项循环地分为(a1),(a2,a3),(a4

设数列{an}满足:Sn=an24+n,an>0.(1)求{an}的表达式;(2)将数列{an}依次按1项,2项,3项循环地分为(a1),(a2,a3),(a4

题型:不详难度:来源:
设数列{an}满足:Sn=
an2
4
+n
,an>0.
(1)求{an}的表达式;
(2)将数列{an}依次按1项,2项,3项循环地分为(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6),(a7),(a8,a9),(a10,a11,a12),
…,分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn},求b2010的值;
(3)如果将数列{an}依次按1项,2项,3项,…,m(m≥3)项循环;分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn},提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?
答案
(1)当n=1时,S1=
a12
4
+1,a12-4a1+4=0
,解得a1=2,
当n≥2时,a n=S n-Sn-1=(
an2
4
+n)-(
an-12
4
+n-1)
,整理得(an+an-1-2)(an-an-1-2)=0,
所以an-an-1=2,或an+an-1=2(不合题意,舍去,否则a2n=0与已知矛盾),
∴数列{an}是等差数列,且公差为2,首项a1=2,从而an=2n.(5分)
(2)数列{an}依次按1项,2项,3项循环地分为(2),(4,6),(8,10,12),(14),(16,18),(20,22,24),,每一次循环记为一组.由于每一个循环含有3个括号,故b2009是第670组中第2个括号内各数之和.
由分组规律知,b3,b6,b8,,b2010,组成一个首项为b3=8+10+12=30,公差为d=36的等差数列.所以b2010=30+(670-1)×36=24114.(10分)
(3)当n是m的整数倍时,求bn的值.
数列{an}依次按1项、2项、3项,,m项循环地分为(2),(4,6),(8,10,12),,(m2-m+2,m2-m+4,m2-m+6,,m2+m);(m2+m+2)(m2+m+4,m2+m+6),,(2m2+2,2m2+4,,2m2+2m),(2m2+2m+2),
第m组,第2m组,,第km(k∈N*)组的第1个数,第2个数,,第m个数分别组成一个等差数列,其首项分别为m2-m+2,m2-m+4,m2-m+6,,m2+m公差均为m(m+1)
则第m组、第2m组,,第km组,的各数之和也组成一个等差数列,其公差为m2(m+1)
第m组的m个数之和为
m[(m2-m+2)+(m2+m)]
2
=m3+m

∴当n=km时,bn=bkm=m3+m+(k-1)m2(m+1).(16分)
举一反三
已知f (x)=mx(m为常数,m>0且m≠1).设f (a1),f (a2),…,f (an),…(n∈N)是首项为m2,公比为m的等比数列.
(1)求证:数列{an}是等差数列;
(2)若bn=an f (an),且数列{bn}的前n项和为Sn,当m=3时,求Sn
(3)若cn=f(an)lgf (an),问是否存在m,使得数列{cn}中每一项恒不小于它后面的项?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
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已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且
An
Bn
=
7n+45
n+3
,则使得
an
bn
为正偶数时,n的值可以是(  )
A.1B.2C.5D.3或11
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已知非零实数a,b,c成等差数列,直线ax+by+c=0与曲线C:  
x2
m2
+
y2
9
=1 (m>0)
恒有公共点,则实数m的取值范围为______.
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已知等差数列{an}的前n项和为sn=pm2-2n+q(p,q∈R),n∈N*
(I)求q的值;
(Ⅱ)若a3=8,数列{bn}}满足an=4log2bn,求数列{bn}的前n项和.
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已知等比数列{an}中,各项都是正数,且a1
1
2
a3,2a2成等差数列,则
a3+a10
a1+a8
=______.
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