已知等比数列{an}满足a1+a6=11,且a3a4=329.(1)求数列{an}的通项an;(2)如果至少存在一个自然数m,恰使23am-1,am2,am+1

已知等比数列{an}满足a1+a6=11,且a3a4=329.(1)求数列{an}的通项an;(2)如果至少存在一个自然数m,恰使23am-1,am2,am+1

题型:不详难度:来源:
已知等比数列{an}满足a1+a6=11,且a3a4=
32
9

(1)求数列{an}的通项an
(2)如果至少存在一个自然数m,恰使
2
3
am-1
am2,am+1+
4
9
这三个数依次成等差数列,问这样的等比数列{an}是否存在?若存在,求出通项公式;若不存在,请说明理由.
答案
(1)由题意得





a1 +a1q5=11
a1q2a1q3=
32
9
,则





a1 =
32
3
q =
1
2





a1 =
1
3
q =2

∴an=
32
3
• (
1
2
)
n-1
=
1
3
26-n
或an=
1
3
2n-1

(2)对an=
1
3
2n-1
,若存在题设要求的m,则
2•(
1
3
•2m-12=
2
3
1
3
•2m-2+
1
3
•2m+
4
9

∴(2m2-7•2m+8=0.
∴2m=8,m=3.
对an=
1
3
26-n
,若存在题设要求的m,同理有(26-m2-11•26-m-8=0.
而△=112+16×8不是完全平方数,故此时所需的m不存在.
综上所述,满足条件的等比数列存在,且有an=
1
3
•2n-1
举一反三
设{an}是递减的等差数列,前三项之和为12,前三项之积为48,则它的首项是(  )
A.2B.-2C.-4D.6
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已知数列{an},{bn}都是公差为1的等差数列,其首项分别为a1,b1,且a1+b1=5,a1,b1∈N*,设cn=abn(n∈N*),则数列{cn}的前10项和等于______.
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在等差数列{an}中,当ar=as(r≠s)时,{an}必定是常数数列.然而在等比数列{an}中,对某些正整数r、s(r≠s),当ar=as时,非常数数列{an}的一个例子是______.
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已知数列{an}为等差数列,其公差为d.
(Ⅰ)若a10=23,a25=-22,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若a2+a3+a4+a5=34,a2•a5=52,且d>0,求d及数列{an}的前20项的和S20
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在等差数列{an}中,已知a1+a3+a5=18,an-4+an-2+an=108,Sn=420,则n=______.
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