已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2+5n,数列{bn}中b1=8,bn=64bn+1.(1)求{bn}的通项bn;(2)证明{an}是等差数列;(3)是否
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已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2+5n,数列{bn}中b1=8,bn=64bn+1. (1)求{bn}的通项bn; (2)证明{an}是等差数列; (3)是否存在常数a、b,使得对一切正整数n都有an=logabn+b成立.若存在,求出a、b的值;若不存在,说明理由. |
答案
(1)bn=64bn+1⇒=, ∴q=, ∴bn=83-2n…(3分) (2)当n≥2时:an=Sn-Sn-1=3n2+5n-3(n-1)2-5(n-1)=6n+2 又n=1时:a1=S1=8=6×1+2 ∴an=6n+2.…(6分) ∴an-an-1=6n+2-6(n-1)-2=6 ∴{an}是等差数列 …(7分) (3)假设存在这样的a、b,使得对一切自然数n都有an=logabn+b成立,则6n+2=logabn+b=loga83-2n+b=(3-2n)loga8+b=nloga8-2+b+3loga8. 令…(10分) 即, ∴ ∴存在这样的数a=,b=11.…(12分) |
举一反三
已知二次函数f(x)=x2+2(10-3n)x+9n2-61n+100,其中n∈N*. (Ⅰ)设函数y=f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列{an},求证:数列{an}为等差数列; (Ⅱ)设函数y=f(x)的图象的顶点到y轴的距离构成数列{dn},求数列{dn}的前n项和Sn. |
已知等差数列110,116,122,…, (1)在区间[450,600]上,该数列有多少项?并求它们的和; (2)在区间[450,600]上,该数列有多少项能被5整除?并求它们的和. |
已知(2+)n展开式中的第五、第六、第七项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数. |
首项是-56的等差数列,从第9项开始为正数,则公差d的取值范围是______. |
已知数列{an}的前n项和Sn+=3,n∈N*,又bn是an与an+1的等差中项,求{bn}的前n项和Tn. |
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