已知等差数列{an}满足a3=5,且a5-2a2=3.又数列{bn}中,b1=3且3bn-bn+1=0(n=1,2,3,…).(I) 求数列{an},{bn}的
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已知等差数列{an}满足a3=5,且a5-2a2=3.又数列{bn}中,b1=3且3bn-bn+1=0(n=1,2,3,…). (I) 求数列{an},{bn}的通项公式; (II)若ai=bj,则称ai(或bj)是{an},{bn}的公共项. ①求出数列{an},{bn}的前4个公共项; ②从数列{an}的前100项中将数列{an}与{bn}的公共项去掉后,求剩下所有项的和. |
答案
(I)设等差数列{an}的公差为d,则 ∵a3=5,且a5-2a2=3 ∴a1+2d=5,-a1+2d=3 解得a1=1,d=2, ∴an=1+(n-1)×2=2n-1; ∵3bn-bn+1=0, ∴=3, ∴数列{bn}是以b1=3为首项,公比为3的等比数列. ∴bn=3×3n-1=3n; (II)①数列{an},{bn}的前4个公共项为3,9,27,81; ②∵a100=199,81<a100<243 ∴数列{an}的前100项中包含4个公共项 ∵S100==10000 ∴数列{an}的前100项中将数列{an}与{bn}的公共项去掉后,剩下所有项的和为10000-3-9-27-81=9980. |
举一反三
若等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a7成等比数列,则的值为( ) |
设Sn是等差数列{an}前n项和,若a4=9,S3=15,则数列{an}的通项为( ) |
已知点列B1(1,b1),B2(2,b2),…,Bn(n,bn),…(n∈N)顺次为抛物线y=x2上的点,过点Bn(n,bn)作抛物线y=x2的切线交x轴于点An(an,0),点Cn(cn,0)在x轴上,且点An,Bn,Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形. (1)求数列{an},{cn}的通项公式; (2)是否存在n使等腰三角形AnBnCn为直角三角形,若有,请求出n;若没有,请说明理由. (3)设数列{}的前n项和为Sn,求证:≤Sn<. |
数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意n∈N*,总有an,Sn,an2成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=,求证:对任意实数x∈(1,e](e是常数,e=2.71828…)和任意正整数n,总有Tn<2; (3)正数数列{cn}中,an+1=(cn)n+1(n∈N*),求数列{cn}中的最大项. |
已知数列{an}是等差数列,且a23=49,a32=67. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式an; (Ⅱ)该数列在20至50之间共有多少项?求出这些项的和. |
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