定义:同时满足下列两个条件的数列{an} 叫做“上凸有界数列”,①an+an+22≤an+1②an≤M,M是与n无关的常数.(I)若数列{an} 的前n项和为S
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定义:同时满足下列两个条件的数列{an} 叫做“上凸有界数列”,①an+an+22≤an+1②an≤M,M是与n无关的常数.(I)若数列{an} 的前n项和为S
题型:临沂二模
难度:
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定义:同时满足下列两个条件的数列{a
n
} 叫做“上凸有界数列”,①
a
n
+
a
n+2
2
≤
a
n+1
②a
n
≤M,M是与n无关的常数.
(I)若数列{a
n
} 的前n项和为S
n
,且S
n
=2
n
-1,试判断数列{a
n
} 是否为上凸有界数列;
(Ⅱ)若数列{b
n
}是等差数列,T
n
为其前n项和,且b
3
=4,T
3
=18,试证明:数列{T
n
}为上凸有界数列.
答案
(I)n=1时,a
1
=s
1
=2-1=1
n≥2时a
n
=s
n
-s
n-1
=2
n
-1-(2
n-1
-1)=2
n-1
∴a
n
=2
n-1
显然a
n
=2
n-1
是递增数列,故不存在常数M,使a
n
≤M成立
∴数列{a
n
} 不是上凸有界数列
(II)设{b
n
}的公差为d,则
b
1
+2d=4
3
b
1
+
3×2
2
d=18
解得b
1
=8,d=-2
∴T
n
=8n+
n(n-1)
2
(-2)
=-n
2
+9n
∵
T
n
+
T
n+2
2
-
T
n+1
=
(
T
n+2
-
T
n+1
)-(
T
n+1
-
T
n
)
2
=
b
n+2
-
b
n+1
2
=
d
2
=-1<0
∴
T
n
+
T
n+2
2
≤
T
n+1
,即{T
n
}满足条件①
又T
n
=-n
2
+9n=-(n-
9
2
)
2
+
81
4
当n=4或5时T
n
取最大值20,即T
n
≤20,满足条件②
综上数列{T
n
}为上凸有界数列
举一反三
设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若a
1
=-11,a
4
+a
6
=-6,则当S
n
取最小值时,n等于( )
A.6
B.7
C.8
D.9
题型:福建
难度:
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已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
=n
2
+n,
(1)求首项a
1
,a
2
,和公差d;
(2)求数列{a
n
}的通项公式;
(3)若
b
n
=(
1
2
)
a
n
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
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若等差数列{a
n
}中,a
1
>0,S
n
表示数列的前n项和,且S
4
=S
8
,则S
n
取最大值时n=______.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且S
200
=100,A、B、C为平面内三点,点O为平面外任意一点,若
.
OB
=a
100
.
OA
+a
101
.
OC
,则A、B、C( )
A.共线
B.不共线
C.共线与否和点O的位置有关
D.位置关系不能确定
题型:烟台三模
难度:
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已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若a
3
+a
4
+a
5
=12,则S
7
的值为( )
A.56
B.42
C.28
D.14
题型:不详
难度:
|
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