设a0为常数,且an=3n-1-2an-1(n∈N+).(1)若数列{an+λ3n}是等比数列,求实数λ的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)假设对任意n
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设a0为常数,且an=3n-1-2an-1(n∈N+). (1)若数列{an+λ3n}是等比数列,求实数λ的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)假设对任意n≥1,有an≥an-1,求a0的取值范围. |
答案
(1)由题意知an+λ3n=-2(an-1+λ3n-1),an=-2an-1-2•λ•3n-1-λ3n,∴λ=-. (2)数列{an-•3n} 的首项为a0-,公比为-2. an-•3n=(a0-)(-2)n,∴an=(-2)na0+•3n-•(-2)n,n=0,1,2,3,… (3)利用(2)的结果,得an≥an-1等价于(-1)n-1(5a0-1)<()n-2…③ 对任意的奇数n>0,③式都成立的充要条件为5a0-1<()1-2=,即a0<; 而对任意的偶数n>0,③式都成立的充要条件为1-5a0<()2-2=1,即a0>0. 因此任意n≥1,都使an≥an-1成立的a0的取值范围为 (0,). |
举一反三
已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an+(n-2)(n-1)(n∈N*) (1)是否存在常数p,q,r,使数列{an+pn2+qn+r}是等比数列,若存在求出p,q,r的值;若不存在,说明理由; (2)设数列{bn}满足bn=,证明:b1+b2+…+bn<. |
在等比数列{an}中,an>0,且a1+a2=1,S4=10,则a4+a5=( ) |
已知{an}是等比数列,且公比q≠-1,Sn是{an}的前n项和,已知4S3=a4-2,4S2=5a2-2,则公比q=( ) |
已知数列{an}的首项为a1=3,点(an,an+1)在直线3x-y=0(n∈N*)上. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求f"(1)的值,并化简. (Ⅲ)若cn=log3an3-2(n∈N*),证明对任意的n∈N*,不等式(1+)(1+)•…•(1+)>恒成立. |
己知数列{an}满足:a1=1,an+1= (1)求a2,a3; (2)设bn=a2n-2,n∈N*,求证{bn} 是等比数列,并求其通项公式; (3)在(2)条件下,求数列{an} 前100项中的所有偶数项的和S. |
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