(Ⅰ)证明:假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则有a22=a1a3,即(λ-3)2=λ(λ-4)⇔λ2-4λ+9=λ2-4λ⇔9=0,矛盾. 所以{an}不是等比数列. (Ⅱ)因为bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1(an-2n+14) =(-1)n•(an-3n+21)=-bn 又b1=-(λ+18),所以 当λ=-18,bn=0(n∈N+),此时{bn}不是等比数列: 当λ≠-18时,b1=(λ+18)≠0,由上可知bn≠0, ∴=-(n∈N+). 故当λ≠-18时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,-为公比的等比数列. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. ∴λ≠-18,故知bn=-(λ+18)•(-)n-1,于是可得 Sn=-n |
| i=1 | i4=n4+n4+n3-n, 要使a<Sn<b对任意正整数n成立, 即a<-(λ+18)•[1-(-)n]<b(n∈N+) 得<-(λ+18)< 令f(n)=1-(-)n,则① 当n为正奇数时,1<f(n)≤;当n为正偶数时,≤f(n)<1, ∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)=,. 于是,由①式得a<-(λ+18)<b⇔-b-18<λ<-3a-18. 当a<b≤3a时,由-b-18≥=-3a-18,不存在实数满足题目要求; 当b>3a存在实数λ,使得对任意正整数n,都有a<Sn<b,且λ的取值范围是(-b-18,-3a-18) |