已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a1，b1]时值域为[a2，b2]，当x∈[a2，b2]时值域为[a3，b3]，当x∈[an-1，bn-1]时值域为[an，

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a₁，b₁]时值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时值域为[a₃，b₃]，当x∈[a_n-1，b_n-1]时值域为[a_n，b_n]…其中a、b为常数，a₁=0，b₁=1
（1）若a=1，b=2，求数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（2）若a＞0，a≠1，要使数列{b_n}是公比不为1的等比数列，求b的值．
（3）若a＞0，设数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，求T_n-S_n的值．

答案

（1）∵a=1，b=2，∴f（x）=x+2，
∵函数f（x）单调递增，且当x∈[a_n-1，b_n-1]时值域为[a_n，b_n]．
∴当n≥2时，a_n=f（a_n-1）=a_n-1+2，b_n=f（b_n-1）=b_n-1+2，
又a₁=0，b₁=1，
∴a_n=0+（n-1）×2=2n-2，b_n=1+（n-1）×2=2n-1．
即a_n=2n-2，b_n=2n-1．
（2）当a＞0时，函数f（x）=ax+b单调递增，∴当n≥2时，b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b，（*）
当b_n=b_n-1时，b_n=1，b=1-a，
因此b≠1-a（a＞0，a≠1）．
设数列{b_n}的公比为q，又b₁=1，对于（*）分别取n=2，3可得

q=a+b q2=aq+b

化为b（a+b-1）=0，而a+b-1≠0，∴b=0．
故当b=0时数列{b_n}是公比不为1的等比数列．
因此b=0．
（3）当a＞0时，函数f（x）=ax+b单调递增，
∴当n≥2时，a_n=f（a_n-1）=aa_n-1+b，b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b，
①当a=1时，a_n=0+（n-1）•b，b_n=1+（n-1）b，
∴T_n-S_n=1+1+…+1=n．
②当a≠1时，由an+

b

a-1

=a(an-1+

b

a-1

)，bn+

b

a-1

=a(bn-1+

b

a-1

)，
可得an+

b

a-1

=

b

a-1

•an-1，bn+

b

a-1

=(1+

b

a-1

)•an-1，
∴可得bn-an=an-1，
∴T_n-S_n=1+a+a²+…+a^n-1=

an-1

a-1

．
综上可知：当a=1时，T_n-S_n=n；
当a≠1时，T_n-S_n=

an-1

a-1

．