设数列{an}是公差不为0的等差数列,Sn为其前n项和,数列{bn}为等比数列,且a1=b1=2,S2=5b2,S4=25b3.(I)求数列{an}和{bn}的
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设数列{an}是公差不为0的等差数列,Sn为其前n项和,数列{bn}为等比数列,且a1=b1=2,S2=5b2,S4=25b3. (I)求数列{an}和{bn}的通项公式an及bn; (II)设数列{cn}满足cn=bnSn,问当n为何值时,cn取得最大值? |
答案
(I)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q, 则S2=2a1+d=4+d,S4=4a1+6d=8+6d,b2=b1q=2q,b3=2q2, 根据题意可得:S2=5b2,S4=25b3,即, 解得:或者(舍去), 因为a1=b1=2,数列{an}是等差数列,数列{bn}为等比数列, 所以an=4n-2,bn=2•()n-1. (II)因为Sn是等差数列{an}的前n项和, 所以Sn=2n2,所以cn=bnSn=4n2•()n-1. 假设Cn最大,因为C1=4,C2=,所以C1<C2,所以n≥2. 由Cn最大,可得:,即 | 4n2()n-1≥4(n+1)2()n | 4n2()n-1≥4(n-1)2()n-2 |
| | , 化简可得:, 解得:4+≤n≤5+, 因为4<<5, 所以8<n<10,所以n=9, 即当n=9时,C9最大. |
举一反三
在正项等比数列{an}中,a1a3+2a2a4+a2a6=9,则 a2+a4═______. |
设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-2,S4=4S2,则a3的值为______. |
设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=an+1-2n+1+1,(n∈N*),且a1=1. (Ⅰ)求a2,a3的值; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)设数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=,证明:对一切正整数n,都有:n-<Tn<n-. |
在△ABC中,三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且a,c分别为等比数列{an}的a1、a2,不等式-x2+6x-8>0的解集为{x|a<x<c},则数列{an}的通项公式为______. |
在各项均为正数的等比数列{an}中,a3=-1,a5=+1,则a32+2a2a6+a3a7=( ) |
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