设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+1=pSn+q(p,q为常数,n∈N*),如果:a1=2,a2=1,a3=q-3p.(1)求p,q的值;(2)求数列{
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设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+1=pSn+q(p,q为常数,n∈N*),如果:a1=2,a2=1,a3=q-3p.(1)求p,q的值;(2)求数列{
题型:江苏一模
难度:
来源:
设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知S
n+1
=pS
n
+q(p,q为常数,n∈N
*
),如果:a
1
=2,a
2
=1,a
3
=q-3p.
(1)求p,q的值;
(2)求数列{a
n
}的通项公式;
(3)是否存在正整数m,n,使
S
n
-m
S
n+1
-m
<
2
m
2
m
+1
成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对(m,n);若不存在,说明理由.
答案
(1)由题意,知
S
2
=p
a
1
+q
S
2
=p
S
2
+q
即
3=2p+q
3+q-3p=3p+q
,解之得
p=
1
2
q=2
…(4分)
(2)由(1)知,S
n+1
=
1
2
S
n
+2,①
当n≥2时,S
n
=
1
2
S
n-1
+2,②
①-②得,a
n+1
=
1
2
a
n
(n≥2),…(6分)
又a
2
=
1
2
a
1
,所以数列{a
n
}是首项为2,公比为
1
2
的等比数列,
所以a
n
=
1
2
n-2
.…(8分)
(3)由(2)得,
S
n
=
2(1-
1
2
n
)
1-
1
2
=
4(1-
1
2
n
)
,
由
S
n
-m
S
n+1
-m
<
2
m
2
m
+1
,得
4(1-
1
2
n
)-m
4(1-
1
2
n+1
)-m
<
2
m
2
m
+1
,即
2
n
(4-m)-4
2
n
(4-m)-2
<
2
m
2
m
+1
,…(10分)
即
2
2
n
(4-m)-2
>
1
2
m
+1
,
因为2
m
+1>0,所以2
n
(4-m)>2,
所以m<4,且2<2
n
(4-m)<2
m+1
+4,①
因为m∈N
*
,所以m=1或2或3.…(12分)
当m=1时,由①得,2<2
n
×3<8,所以n=1;
当m=2时,由①得,2<2
n
×2<12,所以n=1或2;
当m=3时,由①得,2<2
n
<20,所以n=2或3或4,
综上可知,存在符合条件的所有有序实数对(m,n)为:(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4).…(16分)
举一反三
已知{a
n
}是递增等比数列,a
2
=2,a
4
-a
3
=4,则此数列的公比q=______.
题型:广东
难度:
|
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等比数列{a
n
}中,
a
1
+
a
3
=10,
a
4
+
a
6
=
5
4
,则数列{a
n
}的通项公式为( )
A.a
n
=2
4-n
B.a
n
=2
n-4
C.a
n
=2
n-3
D.a
n
=2
3-n
题型:不详
难度:
|
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设{a
n
}为等比数例,T
n
=na
1
+(n-1)a
2
…+2a
n-1
+a
n
,已知T
1
=1,T
2
=4,
(1)求数列{a
n
}的首项和公比;
(2)求数列{T
n
}的通项公式.
题型:广东
难度:
|
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已知数列{a
n
}的前n项和S
n
,对一切正整数n,点(n,S
n
)都在函数f(x)=2
x+2
-4的图象上.
(I)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设b
n
=a
n
•log
2
a
n
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
题型:潍坊二模
难度:
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等比数列{a
n
}中,a
1
=2,a
4
=16.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)若a
3
,a
5
分别为等差数列{b
n
}的第4项和第16项,试求数列{b
n
}的前项和S
n
.
题型:无为县模拟
难度:
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