已知{an}是各项均为正数的等差数列,lga1、lga2、lga4成等差数列。又,n=1,2,3,…,(Ⅰ)证明{bn}为等比数列;(Ⅱ)如果无穷等比数列{bn
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已知{an}是各项均为正数的等差数列,lga1、lga2、lga4成等差数列。又,n=1,2,3,…,(Ⅰ)证明{bn}为等比数列;(Ⅱ)如果无穷等比数列{bn
题型:高考真题
难度:
来源:
已知{a
n
}是各项均为正数的等差数列,lga
1
、lga
2
、lga
4
成等差数列。又
,n=1,2,3,…,
(Ⅰ)证明{b
n
}为等比数列;
(Ⅱ)如果无穷等比数列{b
n
}各项的和S=
,求数列{a
n
}的首项a
1
和公差d。
(注:无穷数列各项的和即当n→∞时数列前项和的极限)
答案
(Ⅰ)证明:设{a
n
}中首项为a
1
,公差为d,
∵lga
1
,lga
2
,lga
4
成等差数列,
∴2lga
2
=lga
1
·lga
4
,
∴a
2
2
=a
1
·a
4
,即(a
1
+d)
2
=a
1
(a
1
+3d),
∴d=0或d=a
1
,
当d=0时,a
n
=a
1
,
,
∴
,∴{b
n
}为等比数列;
当d=a
1
时,a
n
=na
1
,
,
∴
,∴{b
n
}为等比数列;
综上可知{b
n
}为等比数列。
(Ⅱ)解:∵无穷等比数列{b
n
}各项的和
,
∴|q|<1,
由(Ⅰ)知,q=
,d=a
1
,
,
∴
,∴a
1
=3,
∴
。
举一反三
等比数列{a
n
}中,a
2
=9,a
5
=243,则{a
n
}的前4项和为
[ ]
A.81
B.120
C.121
D.192
题型:高考真题
难度:
|
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已知数列{a
n
}为等比数列,a
2
=6,a
5
=162,
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设S
n
是数列{a
n
}的前n项和,证明
。
题型:高考真题
难度:
|
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已知数列{log
2
(a
n
-1)}(n∈N*)为等差数列,且a
1
=3,a
3
=9。
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)证明
。
题型:湖南省高考真题
难度:
|
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已知{a
n
}是首项为2,公比为
的等比数列,S
n
为它的前n项和,
(1)用S
n
表示S
n+1
;
(2)是否存在自然数c和k,使得
成立.
题型:上海高考真题
难度:
|
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已知数列{a
n
}(n为正整数)是首项是a
1
,公比为q的等比数列。
(1)求和:
;
(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论,并加以证明;
(3)设q≠1,S
n
是等比数列的前n项和,求:
。
题型:上海高考真题
难度:
|
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