已知数列{an}的满足a1=3,an-3an-1=-3n(n≥2).(1)求证:数列{an3n}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)求数列{an}
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已知数列{an}的满足a1=3,an-3an-1=-3n(n≥2).(1)求证:数列{an3n}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)求数列{an}
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}的满足a
1
=3,a
n
-3a
n-1
=-3
n
(n≥2).
(1)求证:数列
{
a
n
3
n
}
是等差数列;
(2)求数列{a
n
}的通项公式;
(3)求数列{a
n
}的前n项和S
n
.
答案
(1)证明:∵
a
n
-3
a
n-1
=-
3
n
(n≥2)
,
∴
a
n
3
n
-
a
n-1
3
n-1
=-1
,
a
1
3
=
3
3
=1
(4分)
∴数列
{
a
n
3
n
}
是以-1为公差,1为首项的等差数列.(5分)
(2)由(1)得
a
n
3
n
=-n+2
,∴
a
n
=(2-n)•
3
n
(6分)
(3)由(2)得
S
n
=1×3+0×
3
2
+(-1)×
3
3
+…+(3-n)•
3
n-1
+(2-n)•
3
n
(7分)
∴
3
S
n
=1×
3
2
+0×
3
3
+(-1)×
3
4
+…+(3-n)•
3
n
+(2-n)•
3
n+1
(9分)
两式相减得,
-2
S
n
=3-(
3
2
+
3
3
+
3
4
+…+
3
n
)-(2-n)
3
n+1
=3-
9×(
3
n-1
-1)
3-1
-(2-n)
3
n+1
(12分)
整理得:
S
n
=-
15+(2n-5)•
3
n+1
4
(14分)
举一反三
数列{a
n
},{b
n
}的通项公式分别是a
n
=n,b
n
=2
n
,则数列{a
n
•b
n
}的前100项的和为( )
A.99×2
101
+2
B.99×2
101
-2
C.100×2
101
+2
D.100×2
101
-2
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}
了前n项和S
n
=口
n
-1,则此数列了奇数项了前n项和是( )
A.
1
3
(
2
n+1
-1)
B.
1
3
(
2
n+1
-2
)
C.
1
3
(
2
2n
-1)
D.
1
3
(
2
2n
-2)
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列{a
n
}(n∈N
*
)的前n项和为S
n
,且a
3
=5,S
3
=9.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设等比数列{b
n
}(n∈N
*
),若b
2
=a
2
,b
3
=a
5
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知公差不为零的等差数列{a
n
}的前4项和为10,且a
2
,a
3
,a
7
成等比数列.
(Ⅰ)求通项公式a
n
(Ⅱ)设b
n
=
2
a
n
,求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
题型:不详
难度:
|
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若数列{a
n
}通项公式为a
n
=
1
n(n+1)
,则数列{a
n
}的前5项和为______.
题型:不详
难度:
|
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