已知n次多项式Sn(x)=(1+2x)(1+4x)(1+8x)…(1+2nx),其中n是正整数.记Sn(x)的展开式中x的系数是an,x2的系数是bn.(Ⅰ)求
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已知n次多项式Sn(x)=(1+2x)(1+4x)(1+8x)…(1+2nx),其中n是正整数.记Sn(x)的展开式中x的系数是an,x2的系数是bn. (Ⅰ)求an; (Ⅱ)证明:bn+1-bn=4n+1-2n+2; (Ⅲ)是否存在等比数列{cn}和正数c,使得bn=(cn-c)(cn+1-c)对任意正整数n成立?若存在,求出通项cn和正数c;若不存在,说明理由. |
答案
(Ⅰ)由题意得,an=2+4+…+2n,即an==2n+1-2. (Ⅱ)证明:由Sn(x)=(1+2x)(1+4x)…(1+2nx), 得Sn+1(x)=(1+2n+1x)•Sn(x). 所以bn+1=bn+2n+1•an=bn+2n+2(2n-1),即bn+1-bn=2n+2(2n-1)=4n+1-2n+2. (Ⅲ)由S1(x)=1+2x,得b1=0. 当n≥2时, 由bn=n | | k=2 | (bk-bk-1)=n | | k=2 | 2k+1(2k-1-1)=4[-]=4(2-2n)(1-), 得bn=(2n-1-1)(2n-1). 当n=1时,b1=0也适合上式,故bn=(2n-1-1)(2n-1),n∈N*. 因此,存在正数c==和等比数列cn=c•2n-1=•2n,使得bn=(cn-c)(cn+1-c)对于任意 正整数n成立. |
举一反三
数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N+). (Ⅰ)证明数列{Sn}是等比数列; (Ⅱ)求数列{an}的通项an; (Ⅲ)求数列{n•an}的前n项和Tn. |
在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*. (Ⅰ)证明数列{an-n}是等比数列; (Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn; (Ⅲ)证明不等式Sn+1≤4Sn,对任意n∈N*皆成立. |
已知正项数列{an}的前n项的乘积等于Tn=()n2-6n(n∈N*),bn=log2an,则数列{bn}的前n项和Sn中最大值是( ) |
已知等差数列前三项为a,4,3a,前n项的和为sn,sk=2550. (1)求a及k的值; (2)求++…+. |
已知不等式x2-2x-3<0的整数解由小到大构成数列{an}前三项,若数列{an+2a2}的前n项和为Sn,则Sn=______. |
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