数列{an}中,a1=1,且点(an,an+1)在直线l:2x-y+1=0上.(Ⅰ)设bn=an+1,求证:{bn}是等比数列;(Ⅱ)设Cn=n(3an+2),
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数列{an}中,a1=1,且点(an,an+1)在直线l:2x-y+1=0上. (Ⅰ)设bn=an+1,求证:{bn}是等比数列; (Ⅱ)设Cn=n(3an+2),求{Cn}的前n项和. |
答案
(Ⅰ)数列{an}中,a1=1,且点(an,an+1)在直线l:2x-y+1=0上. 所以2an-an+1+1=0,即2an+2=an+1+1, 所以{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列, 所以an+1=2×2n-1=2n, an=2n-1, bn=an+1=2n, ==2 所以{bn}是等比数列; (Ⅱ)设Cn=n(3an+2)=3n×2n-n, {Cn}的前n项和.Sn=3× 21+3×2×22+3×3×23+…+3×n×2n-(1+2+3+…+n), 令T=3×21+3×2×22+3×3×23+…+3×n×2n,…①, 所以2T=3×22+3×2×23+3×3×24+…+3×n×2n+1…②, ①-②得:-T=3(21+22+23+…+2n-n×2n+1), T=3(n-1)•2n+1+6, 所以Sn=3(n-1)•2n+1+6-. |
举一反三
已知数列{an}(n∈N*),首项a1=,若二次方程anx2-an+1x-1=0的根α、β且满足3α+αβ+3β=1,则数列{an}的前n项和Sn=______. |
已知函数f(x)的定义域为N*,且f(x+1)=f(x)+x,f(1)=0. (1)求f(x)的解析式. (2)设an=.(n∈N*,n≥2),Sn=a2+a3+a 3+…+an,问是否存在最大的正整数m,使得对任意的n∈N*均有Sn>恒成立?若存在,求出m值;若不存在请说明理由. |
已知正项数列{an}中,a1=1,点(,an+1),(n∈N*)在函数y=x2+1的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)已知bn=()n-1,n∈N*,令Cn=,求{Cn}的前n项和Tn. |
在等差数列{an},等比数列{bn}中,a1=b1=1,a2=b2,a4=b3≠b4. (Ⅰ)设Sn为数列{an}的前n项和,求anbn和Sn; (Ⅱ)设Cn=(n∈N*),Rn=C1+C2+…+Cn,求Rn. |
已知数列{an}是首项为1的等差数列,若a2+1,a3+1,a5成等比数列. (1)求数列{an}通项公式; (2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn. |
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