已知函数f(x)=logmx(mm为常数,0<m<1),且数列{f(an)}是首项为2,公差为2的等差数列.(1)若bn=an•f(an),当m=22时,求数列

已知函数f(x)=logmx(mm为常数,0<m<1),且数列{f(an)}是首项为2,公差为2的等差数列.(1)若bn=an•f(an),当m=22时,求数列

题型:惠州一模难度:来源:
已知函数f(x)=logmx(mm为常数,0<m<1),且数列{f(an)}是首项为2,公差为2的等差数列.
(1)若bn=an•f(an),当m=


2
2
时,求数列{bn}的前n项和Sn
(2)设cn=an•lgan,如果{cn}中的每一项恒小于它后面的项,求m的取值范围.
答案
(1)由题意得f(an)=2+2(n-1)=logman,可得2n=logman,…(1分)
∴an=m2n.…(2分)
bn=an•f(an)=2n•m2n
∵m=


2
2
,∴bn=an•f(an)=2n•(


2
2
2n=n•(
1
2
n-1,…(3分)
∴Sn=1•(
1
2
0+2•(
1
2
1+3•(
1
2
2+…+n•(
1
2
n-1,①
1
2
Sn=1•(
1
2
1+2•(
1
2
2+3•(
1
2
3+…+n•(
1
2
n,②…(4分)
①-②,得
1
2
Sn=(
1
2
0+(
1
2
1+(
1
2
2+…+(
1
2
n-1-n•(
1
2
n=
1-
1
2n
1-
1
2
-n•(
1
2
)n
…(6分)
∴化简得:Sn=-(n+2)(
1
2
n-1+4  …(7分)
(2)由(Ⅰ)知,cn=an•lgan=2n•m2nlgm,要使cn<cn+1对一切n∈N*成立,
即nlgm<(n+1)m2lgm对一切n∈N*成立.…(8分)
∵0<m<1,可得lgm<0
∴原不等式转化为n>(n+1)m2,对一切n∈N*成立,
只需m2<(
n
n+1
min即可,…(10分)
∵h(n)=
n
n+1
在正整数范围内是增函数,∴当n=1时,(
n
n+1
min=
1
2
.…(12分)
∴m2
1
2
,且0<m<1,,∴0<m<


2
2
.…(13分)
综上所述,存在实数m∈(0,


2
2
)满足条件.…(14分)
举一反三
已知数列{an}满足an+1=
an
3-2an
a1=
1
4

(1)令bn=
1
an
-1(n∈N+)
  求数列{bn}的通项公式;
(2)求满足am+am+1+…+a2m-1
1
150
的最小正整数m的值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
x
2x+1
,数列{an}满足a1=f(1),an+1=f(an)(n∈N*).
(Ⅰ)求a1,a2的值;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)设bn=an•an+1,求数列{bn}的前n项和Sn,并比较Sn
n
2n+18
题型:北京模拟难度:| 查看答案
已知数列{an} 中,a1=2,an-an-1-2n=0(n≥2,n∈N).
(1)写出a2、a3的值(只写结果)并求出数列{an}的通项公式;
(2)设bn=
1
an+1
+
1
an+2
+
1
an+3
+…+
1
a2n
,求bn的最大值.
题型:广东模拟难度:| 查看答案
在等差数列{an}中,若前11项和S11=11,则a2+a5+a7+a10=(  )
A.5B.6C.4D.8
题型:不详难度:| 查看答案
数列{an}的通项公式为an=
1


n
+


n+1
,其前n项之和为10,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n=0在y轴上的截距为______.
题型:不详难度:| 查看答案
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