对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）．对正整数k，规定 {△kan}为{an}的k阶差分数列，其中

题型：东城区模拟难度：来源：

对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．对正整数k，规定 {△^ka_n}为{a_n}的k阶差分数列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n=△（△^k-1a_n）．
（Ⅰ）若数列{a_n}的首项a₁=1，且满足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的数列{a_n}，若数列{b_n}是等差数列，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_n-1C_n^n-1+b_nC_nⁿ=a_n对一切正整数n∈N^*都成立，求b_n；
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，令c_n=（2n-1）b_n，设Tn=

c1

a1

+

c2

a2

+

c3

a3

+…+

cn

an

，若T_n＜m成立，求最小正整数m的值．

答案

（Ⅰ）由△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ及△²a_n=△a_n+1-△a_n，
得△a_n-a_n=2ⁿ，
∴a_n+1-2a_n=2ⁿ，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

，---------------（2分）
∴数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

1

2

的等差数列，
∴

an

2n

=

1

2

+(n-1)×

1

2

，
∴a_n=n•2^n-1．--------（4分）
（Ⅱ）∵b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_n-1C_n^n-1+b_nC_nⁿ=a_n，
∴b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_n-1C_n^n-1+b_nC_nⁿ=n•2^n-1．
∵kC_n^k=nC_n-1^k-1，

∴ C 1n +2 C 2n +3 C 3n +…+(n-1) C n-1n +n C nn =n C 0n-1 +n C 1n-1 +n C 2n-1 +…+n C n-1n-1 =n( C 0n-1 + C 1n-1 + C 2n-1 +…+ C n-1n-1 )=n•2n-1.

∴b_n=n．------------（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得  
T_n=

1

1

+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

，①
  

1

2

Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，②
①-②得 

1

2

Tn=1+1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-2

-

2n-1

2n

=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

，
∴T_n=6-

1

2n-3

-

2n-1

2n-1

＜6，----------（10分）
又T_n=

1

1

+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

，
∴T_n+1-T_n＞0，
∴{T_n}是递增数列，且T₆=6-

1

23

-

11

25

＞5，
∴满足条件的最小正整数m的值为6．--------（13分）