已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且an和Sn满足:4Sn=(an+1)2(n=1,2,3…),(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=1an•an+1,

已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且an和Sn满足:4Sn=(an+1)2(n=1,2,3…),(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=1an•an+1,

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已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且an和Sn满足:4Sn=(an+1)2(n=1,2,3…),
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=
1
anan+1
,求{bn}的前n项和Tn
(3)在(2)的条件下,对任意n∈N*,Tn
m
23
都成立,求整数m的最大值.
答案
(1)∵4Sn=(an+1)2,①
∴4Sn-1=(an-1+1)2(n≥2),②
①-②得
4(Sn-Sn-1)=(an+1)2-(an-1+1)2
∴4an=(an+1)2-(an-1+1)2
化简得(an+an-1)•(an-an-1-2)=0.
∵an>0,∴an-an-1=2(n≥2).
∴{an}是以1为首项,2为公差的等差数列.
∴an=1+(n-1)•2=2n-1.
(2)bn=
1
an•an+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
1
2n-1
-
1
2n+1
).
∴Tn=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+…+(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]
=
1
2
(1-
1
2n+1
)=
n
2n+1

(3)由(2)知Tn=
1
2
(1-
1
2n+1
),
Tn+1-Tn=
1
2
(1-
1
2n+3
)-
1
2
(1-
1
2n+1

=
1
2
1
2n+1
-
1
2n+3
)>0.
∴数列{Tn}是递增数列.
∴[Tn]min=T1=
1
3

m
23
1
3

∴m<
23
3

∴整数m的最大值是7.
举一反三
数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an(3-


x
)n
的二项展开式中x的系数,设bn=
3n
an
Tn
为数列{bn}的前n项和,则an=______,T99=______.
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(2-3×5-1)+(4-3×5-2)+…(2n-3×5-n)=______.
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数列{an}中,已知a1=1,a2=2,若对任意正整数n,有anan+1an+2=an+an+1+an+2,且an+1an+2≠1,则该数列的前2010项和S2010=(  )
A.2010B.4020C.3015D.-2010
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数列{an}满足:a1=1,且对每个n∈N*,an,an+1是方程x2+3nx+bn=0的两根,则b1+b2+b3+…+b20的和为(  )
A.6385B.5836C.3658D.8365
题型:不详难度:| 查看答案
数列
22+1
22-1
32+1
32-1
42+1
42-1
,…前10项和为______.
题型:不详难度:| 查看答案
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