在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足Sn2=an(Sn-12).(1)求Sn的表达式;(2)设bn=2nSn,求{bn}的前n项和Tn.

在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足Sn2=an(Sn-12).(1)求Sn的表达式;(2)设bn=2nSn,求{bn}的前n项和Tn.

题型:不详难度:来源:
在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足Sn2=an(Sn-
1
2
)

(1)求Sn的表达式;
(2)设bn=
2n
Sn
,求{bn}的前n项和Tn
答案
解 (1)∵Sn2=an(Sn-
1
2
)
,an=Sn-Sn-1(n≥2),
∴Sn2=(Sn-Sn-1(Sn-
1
2
)

即2Sn-1Sn=Sn-1-Sn,…①
由题意Sn-1•Sn≠0,
将①式两边同除以Sn-1•Sn,得
1
Sn
-
1
Sn-1
=2,
∴数列{
1
Sn
}是首项为
1
S1
=
1
a1
=1,公差为2的等差数列.
可得
1
Sn
=1+2(n-1)=2n-1,得Sn=
1
2n-1

(2)由(1)得
1
Sn
=2n-1,
bn=
2n
Sn
=(2n-1)•2n

因此,
Tn=1×2+3×22+5×23+…(2n-1)2n

两边都乘以2,得
2Tn= 1×22+3×23+…(2n-3)2n+(2n-1)2n+1

两式相减,得
-Tn=2+2(22+23+…+2n)-
(2n-1)•2n+1=2+8(2n-1-1)-(2n-1)•2n+1
∴Tn=(2n-1)•2n+1+6-2•2n+1
化简得
Tn=(2n-3)•2n+1+6
举一反三
已知等比数列{an}前n项和Sn=3n+1+a,数列{bn}的通项公式为bn=an,bn的前n项和为(  )
A.-
3
4
[1-(-3)n]
B.-
3
4
[1-(-3)n+1]
C.
a(1-an)
1-a
D.-n
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已知数列{an}满足a1=1,an=2an-1+2n-1(n≥2,n∈N*),又数列{
an
2n
}
为等差数列.
(1)求实数λ的值及{an}的通项公式an
(2)求数列{an}的前n项和Sn(最后结果请化成最简式)
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已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,(n=1,2,3…)
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记Sn=1•a1+3•a2+…+(2n-1)an,求Sn
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数列-1,4,-7,10,…,(-1)n(3n-2)的前n项和为Sn,则S11+S20=(  )
A.-16B.30C.28D.14
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已知数列{an}满足3an+1+an=4(n∈N*)且a1=9,其前n项和为Sn,则满足不等式|Sn-n-6|<
1
125
的最小正整数n是______.
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