已知数列{an}满足a1=31,an+1=an+2n,n∈N+,则ann的最小值是______.
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已知数列{an}满足a1=31,an+1=an+2n,n∈N+,则ann的最小值是______.
题型:不详
难度:
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已知数列{a
n
}满足a
1
=31,a
n+1
=a
n
+2n,n∈N
+
,则
a
n
n
的最小值是______.
答案
∵数列{a
n
}满足a
1
=31,a
n+1
=a
n
+2n,n∈N
+
,
∴a
n
=(a
n
-a
n-1
)+(a
n-1
-a
n-2
)+…+(a
2
-a
1
)+a
1
=2(n-1)+2(n-2)+…+2×1+31=
2×
n(n-1)
2
+31
=n(n-1)+31.
∴
a
n
n
=n-1+
31
n
.
设函数f(x)=x+
31
x
-1,(x≥1),则
f
′
(x)=1-
31
x
2
=
x
2
-31
x
2
,令f
′
(x)=0,则
x=
31
,
∴当
0<x<
31
时,f
′
(x)<0,即函数f(x)单调递减;当
x>
31
时,f
′
(x)>0,即函数f(x)单调递增.
∴当x=
31
时,函数f(x)取得最小值.
根据以上函数f(x)的性质可知:对于
a
n
n
=n-1+
31
n
来说,当n=6时,此式取得最小值
61
5
.
故答案为
61
6
.
举一反三
已知数列{a
n
}是以d为公差的等差数列,数列{b
n
}是以q为公比的等比数列.
(1)若数列{b
n
}的前n项和为S
n
,且a
1
=b
1
=d=2,S
3
<5b
2
+a
88
-180,求整数q的值;
(2)在(1)的条件下,试问数列{b
n
}中是否存在一项b
k
,使得b
k
恰好可以表示为该数列中连续P(P∈N,P≥2)项和?请说明理由;
(3)若b
1
=a
r
,b
2
=a
s
≠a
r
,b
3
=a
t
(其中t>s>r,且(s-r)是(t-r)的约数)求证:数列{b
n
}中每一项都是数列{a
n
}中的项.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且a
4
-a
2
=4,S
5
=30等比数列{b
n
}中,b
n+1
=3b
n
,n∈N
+
,b
1
=3.
(1)求a
n
,b
n
;
(2)求数列{a
n
•b
n
}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,前n项积为T
n
.
(1)若2S
n
=1-a
n
,n∈N
+
,求a
n
.
(2)若2T
n
=1-a
n
,a
n
≠0,证明{
1
T
n
}为等差数列,并求a
n
.
(3)在(2)的条件下,令M
n
=T
1
•T
2
+T
2
•T
3
+…+T
n
•T
n+1
,求证:
1
15
≤
M
n
<
1
6
.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}满足
a
1
=2,
a
n+1
=
5
a
n
-13
3
a
n
-7
(n∈
N
*
)
,则数列{a
n
}的前100项的和为______.
题型:不详
难度:
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已知正数数列{c
n
}的前n项和为S
n
,且满足S
n
+c
n
=1(n∈N
*
).
(1)求数列{c
n
}的通项公式;
(2)设a
n
=
1
c
n
,探究是否存在数列{b
n
},使得a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
=(2n一1)2
2n+1
+2对一切正整数n都成立?若存在,请求出数列{b
n
}的通项公式,若不存在,请说明理由;
(3)若(2)探究出存在数列{b
n
},则求数列{b
n
•c
n
}的前n项的和T
n
;若(2)探究出不存在数列{b
n
},则请计算数列{
2n+1
2
n
}的前n项和.
题型:不详
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