已知公差为d的等差数列an,0<a1<π2,0<d<π2,其前n项和为Sn,若sin(a1+a3)=sina2,cos(a3-a1)=cosa2.(1)求数列a

已知公差为d的等差数列an,0<a1<π2,0<d<π2,其前n项和为Sn,若sin(a1+a3)=sina2,cos(a3-a1)=cosa2.(1)求数列a

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已知公差为d的等差数列an,0<a1
π
2
,0<d<
π
2
,其前n项和为Sn,若sin(a1+a3)=sina2,cos(a3-a1)=cosa2
(1)求数列an的通项公式;
(2)设bn=
Sn
(n+1)•2n-1
,求数列bn的前n项和Tn
答案
(1)∵sin(a1+a3)=sina2,∴sin2a2=2sina2cosa2=sina2,∴sina2(2cosa2-1)=0,
∵0<a1
π
2
,0<d<
π
2
,∴0<a2<π,∴sina2≠0,∴cosa2=
1
2
,∴a2=
π
3

∵cos(a3-a1)=cosa2,∴cos2d=cos
π
3
,∴d=
π
6
,∴a1=
π
6
,∴an=
π
6
+
(n-1)•
π
6
=
6
,∴数列an的通项公式为an=
6

(2)∵Sn=
n(a1+an)
2
=
n(n+1)π
12
,∴bn=
Sn
(n+1)•2n-1
=
πn
6•2n
=
π
6
n
2n

Tn=
π
6
(
1
2
+2•
1
22
+3•
1
23
+4•
1
24
++n•
1
2n
)
①,
1
2
Tn=
π
6
[
1
22
+2•
1
23
+3•
1
24
+4•
1
25
++(n-1)•
1
2n
+n•
1
2n+1
]
②,
①-②得
1
2
Tn=
π
6
(
1
2
+
1
22
+
1
23
+
1
24
++
1
2n
-n•
1
2n+1
)
=
π
12
(1-
1
2n
)
1-
1
2
-
6
1
2n+1
=
π
6
(1-
1
2n
)-
6
1
2n+1

Tn=
π
3
-
(n+2)π
3•2n+1
举一反三
在数列{an}中,Sn为其前n项之和,且Sn=2n-1,则a12+a22+a32+…+an2等于:
A.(2n-1)2B.
1
3
(2n-1)2
C.4n-1D.
1
3
(4n-1)
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已知数列{an}中,对任意n∈N*都有an+2=an-1-an,若该数列前63项和为4000,前125项和为1000,则该数列前2011项和为______.
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数列{an},an=
1


n
+


n+1
(n∈N+)
,且数列{an}的前n项和为sn=9,则n的值为(  )
A.98B.99C.100D.101
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数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn+1=2Sn+n+1,n∈N.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)bn=
n
an+1-an
,设数列{bn}的前n项和为Tn,n∈N*,试判断Tn与2的关系,并说明理由.
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已知数列{an}满足:a1=a2=a3=2,an+1=a1a2…an-1(n≥3),记bn-2=a12+a22+…+an2-a1a2…an(n≥3).
(1)求证数列{bn}为等差数列,并求其通项公式;
(2)设cn=1+
1
b2n
+
1
b2n+1
,数列{


cn
}的前n项和为Sn,求证:n<Sn<n+1.
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