数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn+1=2Sn+n+1,n∈N.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若bn=nan+1-an,设数列{bn}的前n
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数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn+1=2Sn+n+1,n∈N.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若bn=nan+1-an,设数列{bn}的前n
题型:不详
难度:
来源:
数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且a
1
=1,S
n+1
=2S
n
+n+1,n∈N.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)
若
b
n
=
n
a
n+1
-
a
n
,设数列{b
n
}的前n项和为T
n
,n∈N
*
,试判断T
n
与2的关系,并说明理由.
答案
(Ⅰ)∵a
1
=1,S
n+1
=2S
n
+n+1,
∴S
n+1
+(n+1)+2=2(S
n
+n+2),
并且S
1
+1+2=1+1+2=4,数列{S
n
+n+1}组成一个以4为首项,2为公比的等比数列,
∴S
n
+n+1=4×2
n-1
=2
n+1
,
S
n
=2
n+1
-n-2.
∴a
1
=S
1
=2
2
-1-2=1,
a
n
=S
n
-S
n-1
=(2
n+1
-n-2)-(2
n
-n-1)=2
n
-1,
当n=1时,2
n
-1=1=a
1
,
∴a
n
=2
n
-1.
(Ⅱ)∵a
n
=2
n
-1,
∴
b
n
=
n
a
n+1
-
a
n
=
n
2
n+1
-
2
n
=
n
2
n
,
∴
T
n
=1×
1
2
+2×
1
2
2
+…+n×
1
2
n
,①
1
2
T
n
=1×
1
2
2
+2×
1
2
3
+…+n×
1
2
n+1
,②
①-②,得
1
2
T
n
=
1
2
+
1
2
2
+
1
2
3
+…+
1
2
n
-
n×
1
2
n+1
=
1
2
(1-
1
2
n
)
1-
1
2
-n×
1
2
n+1
=1-
1
2
n
-
n
2
n+1
,
∴
T
n
=2-(2+n)(
1
2
)
n
∴T
n
<2.
举一反三
已知数列{a
n
}满足:a
1
=a
2
=a
3
=2,a
n+1
=a
1
a
2
…a
n
-1(n≥3),记b
n-2
=a
1
2
+a
2
2
+…+a
n
2
-a
1
a
2
…a
n
(n≥3).
(1)求证数列{b
n
}为等差数列,并求其通项公式;
(2)设
c
n
=1+
1
b
2n
+
1
b
2n+1
,数列{
c
n
}的前n项和为S
n
,求证:n<S
n
<n+1.
题型:不详
难度:
|
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已知等比数列{a
n
}的公比大于1,S
n
是数列{a
n
}的前n项和,S
3
=14,且a
1
+8,3a
2
,a
3
+6依次成等差数列,数列{b
n
}满足:b
1
=1,
b
n
=
a
n
(
1
a
1
+
1
a
2
+…+
1
a
n-1
)
(n≥2)
(1)求数列{a
n
}、{b
n
}的通项公式;
(2)求数列{
b
n
a
n
}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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在数列{a
n
}中,a
1
=3,a
n
=2a
n-1
+n-2(n≥2,且n∈N
*
)
(1)求a
2
,a
3
的值;
(2)证明:数列{a
n
+n}是等比数列,并求{a
n
}的通项公式;
(3)求数列{a
n
}的前n项和S
n
.
题型:石景山区一模
难度:
|
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已知一个 数列的各项是1或2,首项为1,且在第k个1和第k+1个1之间有2
k-1
个2,如:1,2,1,2,2,1,2,2,2,2,1,2,2,2,2,2,2,2,2,1,…则该数列前2009项的和S
2009
=______.
题型:不详
难度:
|
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已知a为实数,数列{a
n
}满足a
1
=a,当n≥2时
a
n
=
a
n-1
-3,(
a
n-1
>3)
4-
a
n-1
,(
a
n-1
≤3)
,
(Ⅰ)当a=100时,求数列{a
n
}的前100项的和S
100
;
(Ⅱ)证明:对于数列{a
n
},一定存在k∈N
*
,使0<a
k
≤3.
题型:不详
难度:
|
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