设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=2an-2n+1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=logann+12，数列{bn}的前n项和

题型：不详难度：来源：

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=log

an

n+1

2，数列{b_n}的前n项和为B_n，若存在整数m，使对任意n∈N*且n≥2，都有B3n-Bn＞

m

20

成立，求m的最大值；

答案

（1）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，所以数列{

an

2n

}是公差为1的等差数列．
又S₁=2a₁-2²，所以a₁=4．
所以

an

2n

=2+(n-1)=n+1，
故a_n=（n+1）•2ⁿ．

（2）因为bn=log

an

n+1

2=log2n2=

1

n

，则B3n-Bn=

1

n+1

+

1

n+2

++

1

3n

．
令f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

++

1

3n

，则f(n+1)=

1

n+2

+

1

n+3

++

1

3n

+

1

3n+1

+

1

3n+2

+

1

3n+3

．
所以f(n+1)-f(n)=

1

3n+1

+

1

3n+2

+

1

3n+3

-

1

n+1

=

1

3n+1

+

1

3n+2

-

2

3n+3

＞

1

3n+3

+

1

3n+3

-

2

3n+3

=0．
即f（n+1）＞f（n），所以数列{f（n）}为递增数列．
所以当n≥2时，f（n）的最小值为f(2)=

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

=

19

20

．
据题意，

m

20

＜

19

20

，即m＜19．又m为整数，
故m的最大值为18．