在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径
题型:不详难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.
(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明). (2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小. |
答案
(1)|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞) (2)在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小. |
解析
【解题指南】本题考查了绝对值函数和绝对值不等式的应用. 解:设点P的坐标为(x,y), (1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞). (2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值. ①当y≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|, 因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|. (*) 当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立, 又因为|x+10|+|x-14|≥24. (**) 当且仅当x∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立. 所以d1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立, 因为d2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立.故点P的坐标为(3,1)时,P到三个居民区的“L路径”长度之和最小,且最小值为45. ②当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|. 此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|, d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21. 由①知,d1(x)≥24,故d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立. 综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小. |
举一反三
已知函数f(x)=ax2+4(a为非零实数),设函数F(x)= (1)若f(-2)=0,求F(x)的表达式. (2)在(1)的条件下,解不等式1≤|F(x)|≤2. (3)设mn<0,m+n>0,试判断F(m)+F(n)能否大于0? |
“a>1”是“<1”的 ( )A.充分但不必要条件 | B.必要但不充分条件 | C.充要条件 | D.既不充分也不必要条件 |
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设a>0,b>0,下列不等式中不正确的是 ( )A.a2+b2≥2ab | B.+≥2 | C.+≥a+b | D.+≤ |
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在等比数列{an}和等差数列{bn}中,a1=b1>0,a3=b3>0,a1≠a3,则a5与b5的大小关系为 ( )A.a5>b5 | B.a5<b5 | C.a5=b5 | D.不确定 |
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若x是正数,且x3-x=2,则x与的大小关系为 . |
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