已知点G是△ABC的重心,A(0,-1),B(0,1).在x轴上有一点M,满足|MA|=|MC|,GM=λAB(λ∈R)(若△ABC的顶点坐标为A(x1,y1)
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已知点G是△ABC的重心,A(0,-1),B(0,1).在x轴上有一点M,满足|MA|=|MC|,GM=λAB(λ∈R)(若△ABC的顶点坐标为A(x1,y1)
题型:青州市模拟
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来源:
已知点G是△ABC的重心,A(0,-1),B(0,1).在x轴上有一点M,满足
|
MA
|=|
MC
|
,
GM
=λ
AB
(λ∈R)
(若△ABC的顶点坐标为A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
),则该三角形的重心坐标为
G(
x
1
+
x
2
+
x
3
3
,
y
1
+
y
2
+
y
3
3
)
).
(1)求点C的轨迹E的方程.
(2)设(1)中曲线E的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,过点F
2
的直线l交曲线E于P、Q两点,求△F
1
PQ面积的最大值,并求出取最大值时直线l的方程.
答案
(1)设C(x,y),则
G(
x
3
,
y
3
)
.
∵
GM
=λ
AB
(λ∈R),∴GM
∥
AB.又M是x轴上一点,则
M(
x
3
,0)
.
又∵
|
MA
|=|
MC
|
,∴
(
x
3
)
2
+
(0+1)
2
=
(
x
3
-x)
2
+
y
2
.整理得
x
2
3
+
y
2
=1(x≠0)
.
(2)由(1),知
F
1
(-
2
,0),
F
2
(
2
,0)
.设直线l的方程为x=ty+
2
,
由(1),知x≠0,∴l不过点(0,±1),∴
t≠±
2
设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),将
x=ty+
2
代入
x
2
+3
y
2
=3,(
t
2
+3)
y
2
+2
2
ty-1=0
.
∴△=8t
2
+4(t
2
+3)=12(t
2
+1)>0恒成立.∴
y
1
+
y
2
=
-2
2
t
t
2
+3
,
y
1
•
y
2
=-
1
t
2
+3
.
∴
|
y
1
-
y
2
|=
(
y
1
+
y
2
)
2
-4
y
1
y
2
=
12(
t
2
+1)
(
t
2
+3)
2
=
2
3
t
2
+1
t
2
+3
.
∴
S
△
F
1
PQ
=
1
2
|
F
1
F
2
|•|
y
1
-
y
2
|=
2
|
y
1
-
y
2
|=2
6
t
2
+1
t
2
+3
(t≠±
2
)
.
∴
S
△
F
1
PQ
=
2
6
t
2
+1
+
2
t
2
+1
≤
2
6
2
2
=
3
.
当且仅当t
2
+1=2,即t=±1时取“=”
所以△F
1
PQ的最大值为
3
,此时直线l的方程为x±y-
2
=0.
举一反三
设a、b、m都是正整数,且a<b,则下列不等式中恒成立的是( )
A.
a
b
<
a+m
b+m
<1
B.
a
b
≥
a+m
b+m
C.
a
b
≤
a+m
b+m
≤1
D.
1<
a+m
b+m
<
a
b
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1
x
+
9
y
=1
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2
+b
2
+c
2
,则m的最小值为 ______
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ab
-4
a
2
-
b
2
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