已知a，b，c∈（0，+∞），满足abc（a+b+c）=1，S=（a+c）（b+c），当S取最小值时，c的最大值为______．

题型：不详难度：来源：

已知a，b，c∈（0，+∞），满足abc（a+b+c）=1，S=（a+c）（b+c），当S取最小值时，c的最大值为______．

答案

∵a＞0，b＞0，c＞0，且abc（a+b+c）=1，
∴c2+c(a+b)=

1

ab

∴S=（a+c）（b+c）=ab+（a+b）c+c²=ab+

1

ab

≥2

ab• 1 ab

=2
当且仅当ab=

1

ab

即ab=1时取等号
∴S_min=2
此时1=abc（a+b+c）=c（a+

1

a

+c）=c2+(a+

1

a

)c≥c²+2c
∴c²+2c-1≤0
∵c＞0
∴0＜c≤

2

-1
∴c的最大值为

2

-1
故答案为：

2

-1