在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径
题型:湖南难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心. (I)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明); (II)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小. |
答案
设点P的坐标为(x,y),则 (I)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,y∈[0,+∞); (II)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值 ①当y≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20| ∵d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|≥24 ∴当且仅当x=3时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|的最小值为24 ∵d2(y)=2|y|+|y-20|≥21 ∴当且仅当y=1时,d2(y)=2|y|+|y-20|的最小值为21 ∴点P的坐标为(3,1)时,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小,且最小值为45; ②当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,∴d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20| 此时d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21 由①知d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥24,∴d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立 综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小. |
举一反三
若不等式|x+|>|a|+1对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是( )A.[-1,1] | B.(-1,1) | C.(-2,2) | D.[-2,2] |
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A.(不等式选讲) 不等式|x-1|+|x+3|>a,对一切实数x都成立,则实数a的取值范围为______. B.(几何证明选讲)如图,P是圆O外一点,过P引圆O的两条割线PAB、PCD,PA=AB=,CD=3,则PC=______. C.(极坐标系与参数方程)极坐标方程ρsin2θ-2•cosθ=0表示的直角坐标方程是______. |
对任意实数x,若不等式|x+1|-|x-2|>k恒成立,则k的取值范围是( )A.k<-3 | B.k≤-3 | C.0<k<-3 | D.k≥-3 |
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对于任意实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,试求实数x的取值范围. |
已知|x|<,|y|<.求证:|2x-3y|<a. |
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