在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径

在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径

题型:湖南难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.
(I)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);
(II)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.魔方格
答案
设点P的坐标为(x,y),则
(I)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,y∈[0,+∞);
(II)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值
①当y≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|
∵d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|≥24
∴当且仅当x=3时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|的最小值为24
∵d2(y)=2|y|+|y-20|≥21
∴当且仅当y=1时,d2(y)=2|y|+|y-20|的最小值为21
∴点P的坐标为(3,1)时,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小,且最小值为45;
②当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,∴d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|
此时d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21
由①知d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥24,∴d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立
综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.
举一反三
若不等式|x+
1
x
|>|a|+1
对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是(  )
A.[-1,1]B.(-1,1)C.(-2,2)D.[-2,2]
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 A.(不等式选讲) 不等式|x-1|+|x+3|>a,对一切实数x都成立,则实数a的取值范围为______.
B.(几何证明选讲)如图,P是圆O外一点,过P引圆O的两条割线PAB、PCD,PA=AB=


5
,CD=3,则PC=______.
C.(极坐标系与参数方程)极坐标方程ρsin2θ-2•cosθ=0表示的直角坐标方程是______.魔方格
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对任意实数x,若不等式|x+1|-|x-2|>k恒成立,则k的取值范围是(  )
A.k<-3B.k≤-3C.0<k<-3D.k≥-3
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对于任意实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,试求实数x的取值范围.
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已知|x|<
a
4
,|y|<
a
6
.求证:|2x-3y|<a.
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