对于任意实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,试求实数x的取值范围.
题型:不详难度:来源:
对于任意实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,试求实数x的取值范围. |
答案
由题知,|x-1|+|x-2|≤ 恒成立,故|x-1|+|x-2|小于或等于 的最小值. ∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|,当且仅当 (a+b)(a-b)≥0 时取等号, ∴ 的最小值等于2,∴x的范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤2的解. 由于|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和,又由于数轴上的、 对应点到 1和2对应点的距离之和等于2,故不等式的解集为[,], 故答案为[,]. |
举一反三
已知|x|<,|y|<.求证:|2x-3y|<a. |
不等式|x+|≥|a-2|+siny对一切非零实数x,y均成立,则实数a的范围为______. |
已知命题p:|x-2|<a(a>0),命题q:|x2-4|<1,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 . |
如果关于x的不等式|x-2|+|x+3|≥a的解集为R,则a的取值范围是______. |
若不等式|x-a|-|x|<2-a2当x∈R时总成立,则实数a的取值范围是( )A.(-2,2) | B.(-2,1) | C.(-1,1) | D.(-∞,-1)∪(1,+∞) |
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