解:(1)当a=1时,,f(2)=3; f′(x)=,f′(2)=6, 所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-3=6(x-2),即y=6x-9。 (2)f′(x)=, 令f′(x)=0,解得x=0或x=, 以下分两种情况讨论: (1)若0<a≤2,则,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
当 时,f(x)>0等价于,即, 解不等式组得-5<a<5;因此0<a≤2。 (2)若a>2,则,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
当时,f(x)>0等价于即, 解不等式组得或,因此2<a<5; 综合(1)和(2),可知a的取值范围为0<a<5。 |