设函数f(x)=ex-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.
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设函数f(x)=ex-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.
题型:不详
难度:
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设函数f(x)=e
x
-ax-2.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.
答案
(1)f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
(2)2
解析
(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=e
x
-a.
若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0;
当x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0.
所以,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
(2)由于a=1时,(x-k)f′(x)+x+1=(x-k)(e
x
-1)+x+1.
故当x>0时,(x-k)f′(x)+x+1>0等价于
k<
+x(x>0) ①
令g(x)=
+x,则g′(x)=
+1=
.
由(1)知,函数h(x)=e
x
-x-2在(0,+∞)上单调递增,
又h(1)=e-3<0,h(2)=e
2
-4>0.
所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一零点.
故g′(x)在(0,+∞)上存在唯一零点.
设此零点为α,则α∈(1,2).
当x∈(0,α)时,g′(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g′(x)>0,
所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).
又由g′(α)=0,得e
α
=α+2, 所以g(α)=α+1∈(2,3).
由于①式等价于k<g(α),
故整数k的最大值为2.
举一反三
已知a≤
+ln x对任意x∈[
,2]恒成立,则a的最大值为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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设函数
.
(1)当
时,求函数
的最小值;
(2)证明:对
,都有
;
题型:不详
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已知函数
(1)若
,求函数
的单调区间;
(2)若
,且对于任意
不等式
恒成立,试确定实数
的取值范围;
(3)构造函数
,求证:
题型:不详
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已知函数
,其中
是常数.
(1)当
时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)若存在实数
,使得关于
的方程
在
上有两个不相等的实数根,求
的取值范围.
题型:不详
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|
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曲线
上两点
,若曲线上一点
处的切线恰好平行于弦
,则点
的坐标为( )
A.(1,3)
B.(3,3)
C.(6,-12)
D.(2,4)
题型:不详
难度:
|
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