(1)的反函数为. 设直线与的图象在处相切,则 ,解得. (2)曲线与的公共点个数等于曲线与y=m的公共点个数. 令,则,∴. 当时,,在(0,2)上单调递减; 当时,,在(2,+∞)上单调递增, ∴在(0,+∞)上的最小值为. 当时,曲线与y=m无公共点; 当,曲线与y=m恰有一个公共点; 当时,在区间(0,2)内存在,使得,在(2,+∞)内存在,使得. 由的单调性知,曲线与y=m在(0,+∞)上恰有两个公共点. 综上所述,当x>0时, 若,曲线与没有公共点; 若,曲线与有一个公共点; 若,曲线与有两个公共点.
(3)解法一:可以证明.事实上,
.(*) 令, 则, (当且仅当x=0时等号成立), ∴在[0,+∞)上单调递增, ∴时,. 令,即得(*)式,结论得证. 解法二:
, 设函数, 则, 令,则(当且仅当x=0时等号成立), ∴单调递增, ∴当x>0时,,∴单调递增. 当x>0时,u(x)>u(0)=0. 令,得, ∴, 因此,. |