(1)由题意f′(x)=x2-2ax-a, 假设在x=-1时f(x)取得极值,则有f′(-1)=(-1)2-2a(-1)-a=0,解得a=-1. 而此时f′(x)=x2+2x+1=(x+1)2≥0,所以函数f(x)在R上为增函数,函数无极值. 这与f(x)在x=-1处有极值矛盾,所以f(x)在x=-1处无极值. (2)设f(x)=g(x),则有x3-ax2-ax=2x2+4x+c, 所以c=x3-x2-3x. 设F(x)=x3-x2-3x,则F′(x)=x2-2x-3,令F′(x)=0,解得x1=-1,x2=3. 当x变化时,F′(x),F(x)的变化情况如表所示:
x
| -3
| (-3,-1)
| -1
| (-1,3)
| 3
| (3,4)
| 4
| F′(x)
|
| +
| 0
| -
| 0
| +
|
| F(x)
| -9
|
| 极大值
|
| 极小值
|
| -
| 由表可知F(x)在[-3,-1],[3,4]上是增函数,在[-1,3]上是减函数. 当x=-1时,F(x)取得极大值F(-1)=;当x=3时,F(x)取得极小值F(3)=-9,而F(-3)=-9,F(4)=-. 如果函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点,则函数F(x)与y=c有两个公共点,所以-<c<或c=-9. |